Оптимальные траектории в однопродуктовых моделях экономической динамики

• Автор: Матвеенко, Владимир Дмитриевич
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Ленинград
• Количество страниц: 154 c. : ил

ГЛАВА I. Дискретная модель экономической динамики

с дезагрегированными фондами

§ I. Описание модели

§ 2. Продуктивные управляющие последовательности

§ 3. Расширенная модель

ГЛАВА 2. Классы оптимальных траекторий

§ 4. Пошагово оптимальные траектории

§ 5. Т-оптимальные Т-траектории и эффективные траектории

§ 6. Траектории с максимальным суммарным

дисконтированным потреблением

ГЛАВА 3. Асимптотическое поведение траекторий

§ 7. Теоремы о магистрали для стационарной
модели
§ 8. Единственность эффективной траектории
§ 9. Теоремы о магистрали для нестационарного
случая
§ 10. Модель с агрегированными фондами
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ I. Траектории модели
ПРИЛОЖЕНИЕ 2. Макроэкономические показатели в
модели (Р
ПРИЛОЖЕНИЕ 3. Оптимизационная модель цикла
ЖИЗНИ ИЗДеЛИЙ
ПРИЛОЖЕНИЕ 4. Сводка результатов для модели

Предлагаемая работа относится к одному из разделов общей теории оптимального управления и посвящена вопросам оптимального управления однопродуктовши математическими моделями экономической динамики с дискретным временем. Однопродуктовые модели интенсивно исследуются в последние десятилетия. Они представляют собой предельно агрегированные модели экономики, но при этом отражают динамику взаимосвязей между макроэкономическими показателями и находят применение в изучении наблюдаемых закономерностей экономического развития, в анализе и прогнозировании долговременных тенденций основных народнохозяйственных показателей, в формировании представлений о.сущности и характере научно-технического прогресса - основного фактора роста в современной экономике. Б качестве блока они входят в более сложные экономикоматематические модели, в том числе имитационные. По-видимому, математические методы, разработанные для исследования однопродуктовых моделей, и экономическая трактовка результатов могут быть использованы впоследствии при анализе различных многопродуктовых моделей и других динамических систем.
Математически однопродуктовые модели с непрерывным временем описываются системами дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений, модели с дискретным временем - системами разностных уравнений и неравенств. Несмотря на внешнюю простоту однопродуктовых моделей, их математическое исследование далеко не завершено.
Работа по математическому исследованию однопродуктовых моделей была начата зарубежными учеными, среди которых следует отметить прежде всего Ф.Рамсея, М.Брауна, Р.Солоу, Л.Йохансена,
- Ц
Е.Фелпса, Д.Касса, Т.Купманса, К.Эрроу. Значительный вклад внесли советские исследователи - академик л.В.Канторович и его сотрудники Л.И.Горьков, И.Г.Глобенко, В.И.Жиянов, А.Г.Хованский,
Е.И.Коркина, а также А.Л.Лурье, В.С.Немчинов, В.л.Макаров,Н.Н.Моисеев, А.М.Рубинов, М.И.Зеликин, Л.Ф.Зеликина, В.Г.Гребенников,
А.А.Рыбкин и др. Их работы были связаны с проблемами существования и единственности равновесных (.стационарных, экспоненциальных) траекторий, с нахождением оптимальной стационарной траектории в смысле того или иного заданного критерия оптимальности, с разработкой удобных критериев (.принципов) оптимальности. В качестве примера можно указать принцип дифференциальной оптимизации Л.В.Канторовича Г23, 26, 33 ] , критерий эффективности Ги, 38,
53 Д, принцип максимального использования потенциальных возможностей экономики А.М.Рубинова [56, 5?, 59] . Рассматриваются также задачи о построении оптимальной траектории для фиксированного начального состояния и заданного критерия оптимальности и об описании асимптотики таких траекторий. В работах по однопродуктовым моделям широко используются методы теории дифференциальных уравнений, принцип максимума Л.С.Понтрягина, динамическое программирование, теория суперлинейных многозначных отображений.
В настоящей работе рассматриваются две однопродуктовые модели экономической динамики: модель с фондами, различающимися по срокам службы (модель М. ), и простейшая модель экономического прогнозирования (модель 9 ). Исследование этих моделей проводилось в рамках разрабатываемой в ИСЭП темы "Развитие математических методов исследования операций и их применение в прогнозировании и управлении НТП”, 11° Г.Р. 81084816. Модель М- представляет собой модель с так называемым "овеществленным (материализованным) научно-техническим прогрессом”. Изучение этого типа

■ -Ь I 'Ч ~Ь р.
здесь ро Е 1 . Причем равенство имеет место лишь при 'Ш ^ -и .
— г"’ "4 /-)
доказательство. При ьЗ'с - 0 утверждение немедленно следует
из выражений (146), (14г), (14е) и условия 2 . Если ь$с Ф 0 , то, в силу условий 1°-4°, имеем неравенство
' Д-.о. V ь
Неравенство (12а) имеет место, поскольку очс Ф 0 . Отсюда

Тогда из (14а), (14в), (14д) получаем требуемое неравенство. Лемма доказана.
~ь ~ь
Следствие. Если Об. Ф0]рс ФО для некоторых >1 ,

-Ь-к Р-к
р ^ > О ДЛЯ всех К = 4 I
4- -Ь
Предложение 3.2. Неравенство рс ^ при очсФО имеет
место в том и только в том случае, если найдется целое к€[0;т.-1]
такое, что гЭ-. _ =р и
1 и + К
Иными словами, .-то, что та или иная группа фондов имеет в период Ь ненулевую цену, означает, что эта группа будет использоваться в этом или одном из последующих периодов.
■Ь ** л
Доказательство. Необходимость. Пусть р^ > 0 , но^=б.
“Ь *Н
Тогда из (14г) следует, что р0 >0 . Повторяя это рассуждел> т, + к , л . . . 1Ь+иа-С,
ние, получаем, что либо + к ф О , к < ^ ^ , либо >0,
'ч-) 4 -С. ,
и тогда т 0 согласно (14е).
^ 4 +к ,
Достаточность. Пусть '1а9'(:+к + 0 для некоторых с-,«,"4
тогда л*+к < о