Частотные оценки периодов колебаний нелинейных дискретных систем

• Автор: Федоров, Алексей Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 80 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Круговой критерий

1. Круговой критерий отсутствия циклов

2. Одномерная система фазовой синхронизации

3. Логистическое отображение

4. Отображение Хенона

2 Критерий для систем со стационарной дифференцируемой нелинейностью

1. Дискретный аналог критерия Гарбера

2. Об эффективности критерия

3. Двумерное квадратичное отображение
3 Критерий для систем фазовой синхронизации
1. Дискретный аналог критерия Леонова и Сперанской
2. Двумерная система фазовой синхронизации
Приложение 1. Дискретное преобразование Фурье
Литература

Введение
Во второй половине двадцатого века в теории устойчивости появилось и получило развитие новое направление — метод априорных интегральных оценок. В его основе лежит применение преобразования Фурье как унитарного оператора в некоторых функциональных пространствах.
В работе показано, что этот метод может дать содержательные аналитические оценки периодов колебаний дискретных систем, имеющих хаотическое по Ли и Йорке [1л & Уогке, 1975] поведение.
Ниже приводится краткий обзор работ, в которых появлялись и развивались идеи, методы и приемы, используемые в данной диссертации.
В 1949 году М.А. Айзерманом была [Айзерман, 1949] сформулирована проблема, которая стимулировала разработку новых математических методов исследования нелинейных систем на несколько десятилетий вперёд.
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений
х — Ах + Ь(р(с*х), х£М", (1)

где А — постоянная вещественная nxn-матрица, Ь, с — постоянные п -мерные векторы, с*х = а £ К, а р — дифференцируемая функция, причём ср(0) = 0. Здесь ip трактуется как вход системы, а —а как выход. Здесь и далее знак "‘"обозначает операцию транспонирования.
Гипотеза Айзермана заключалась в следующем. Если для всех к G (Ад, fo) система (1) с р = ка асимптотически устойчива по Ляпунову, то любая система (1), удовлетворяющая условию
h < < к2, Vcr ф 0, (2)

устойчива в целом. Позже многократно было показано, что ни гипотеза Айзермана, ни гипотеза Калмана с условием
к < < ki (3)

вместо (2) в общем случае неверны.
За прошедшие шестьдесят с лишним лет частотные методы превратились в полноценный математический аппарат, которому посвящено огромное количество работ [Jury к Lee, 1964, Cho к Narendra, 1968, Вавилов, 1970, Шепелявый, 1972, Якубович, 1973, Якубович, 1975, Леонов к Корякин, 1976, Леонов к Чурилов, 1976, Леонов к Чурилов, 1982,Корякин к Леонов к Лисс, 1978, Леонов, 1980, Леонов к Буркин к Шепелявый, 1992].
Достаточное условие устойчивости в целом было предложено В. М. Поп о-

при котором в системе существует устойчивый цикл данного периода):
2 3.40000 14 3.59721 26 3.59614
4 3.50000 16 3.56434 28 3.57581
6 3.62655 18 3.59422 30 3.59385
8 3.54391 20 3.57751 32 3.56873
10 3.60521 22 3.59314 34 3.60444
12 3.58202 24 3.57253 36 3.57516
То есть, при д < /х* в системе нет циклов периода 3, но есть циклы других периодов.
4. Отображение Хенона
Рассмотренные выше отображения были одномерными. Круговой критерий можно успешно использовать и для отображений большей размерности.
Рассмотрим двумерное отображение Хенона [Непоп, 1976, Michelitsch & Rössler, 1989,Russel & Hanson & Ott, 1980]:
{xt+1 = 1 +yt- ßxf Vt+i
Отображение зависит от двух вещественных параметров — ß и v. Традиционно рассматривается отображение с параметрами ß = 1.4, и