Развитие выпуклого анализа и его приложений в теории дифференциальных игр

• Автор: Иванов, Григорий Евгеньевич
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 383 с. : ил.

1 Сильно и слабо выпуклые множества

1.1 Операции над множествами

1.2 Топологические свойства суммы и разности множеств

1.3 Отношение ’’выпукло сильнее” для множеств

1.4 Сохранение отношения ’’выпукло сильнее” при суммировании множеств

1.5 Сильно выпуклые множества

1.6 Слабо выпуклые множества

1.7 Слабая выпуклость и гладкость множеств

1.8 Исчисление констант сильной и слабой выпуклости для множеств

1.9 Перестановочность геометрических операций

1.10 Гладкость сильно и слабо выпуклых оболочек множеств

1.11 Теорема об альтернативе для дифференциальных игр
2 Сильно и слабо выпуклые функции
2.1 Операции над функциями
2.2 Связь операций над множествами и операций над функциями
2.3 Отношение’’выпукла сильнее” для функций
2.4 Исчисление параметоров выпуклости для функций
2.5 Сильно и слабо выпуклые функции
2.6 Слабая выпуклость и гладкость функций

2.7 Выпуклая, слабо выпуклая и сильно выпуклая оболочки функций
2.8 Аппроксимации непрерывной функции гладкими функциями
2.9 Верхняя и нижняя производные второго порядка
2.10 Сильная выпуклость множества и гладкость его опорной функции
2.11 Некоторые свойства операций с функциями и множествами
2.12 Сильно выпуклые штрафные функции
'3 Регулярность задачи на минимакс.
3.1 Теоремы о существовании седловой точки
3.2 Непрерывная зависимость седловой точки сильно выпукло-вогнутой функции от параметра
3.3 Условия существования седловой точки в терминах множеств уровня
4 Квадратичная сходимость алгоритмов решения линей
ных дифференциальных игр.
4.1 Кусочно-программные стратегии
4.2 Дифференциальная игра с липшицевой функцией платы.
4.3 Дифференциальная игра с терминальным множеством.
4.4 Оценки погрешностей, связанных с дискретизацией по пространству
4.5 Пример
5 Гарантированное управление в дифференциальных играх с эллипсоидальной платой.
5.1 Дифференциальная игра с эллипсоидальной платой
5.2 Стратегическая функция
5.3 Теорема о гарантированном управлении
5.4 Лемма о нижней производной
5.5 Доказательство теоремы о гарантированном управлении.

256 259 261 263

6 Дифференциальные игры с сильно выпукло-вогнутым функционалом
6.1 Постановка задачи
6.2 Существование седловой точки в классе программных стратегий
6.3 Принцип минимакса
6.4 Непрерывность оптимальных стратегий и гладкость функции цены игры
6.5 Пример
6.6 Игры с сильно выпуклыми ограничениями
7 Дифференциальные игры с эллипсоидальными штрафами
7.1 Теорема о седловой точке
7.2 Вычисление вектора сопряженных переменных методом простой итерации
7.3 Вычисление вектора сопряженных переменных методом Ньютона
7.4 Дифференциальная игра с чисто геометрическими ограничениями на управление преследователя
7.5 Дифференциальные игры без геометрических ограничений на управления игроков
7.6 Пример
Заключение
Литература
Список обозначений
Предметный указатель

1.4.4 существует выпуклое замкнутое множество Х С С такое, что X + Х — У. Следовательно,
X + Z + Xx = Y + Z. (1.4.1)
Так как множество X выпукло сильнее множества У, то в силу леммы 1.4.7, int bPO = int Ь(У). Следовательно, int Ь{Х + Z) = int(b(X) ПЬ(У)) = (int bPO) H(mt b(Z)) = (int Ь(У)) H(int b(Z)) = int (Ь(У) П b(Z)) = int Ь(У + Z). Итак,
int Ь(-У + Z) = int Ь(У + Z). (1.4.2)
Поскольку int b(Y + Z) ф 0, то int b(-^ + Z) ф 0. Отсюда в силу
предложения 1.2.7 получаем замкнутость множеств X + Z и Y + Z.
Применяя лемму 1.4.8 к этим множествам, из условий (1.4.1), (1.4.2) получаем, что множество X + Z выпукло сильнее множества Y + Z.
Замечание 1.4.5. Условие теоремы 1.4.2 о том, что множество У является порождающим, весьма существенно. Приведем пример выпуклых компактов X, У, Z таких, что множество X выпукло сильнее множества У, но множество X + Z не является выпуклым сильнее, чем У + Z. Поскольку в К1 и в Е2 любое выпуклое замкнутое множество является порождающим, то пример нужно приводить как минимум в
Пусть

Z - отрезок с концами в точках тельно, множество X выпукло сильнее множества У.
|zi|,z3 < 2 - |х2|,х3 > 0 >
1 -1
0 ) 0 , Х.= Y
0 0