Алгоритмизация и численная реализация аналитических методов представления решений в задачах механики

• Автор: Иванова, Ольга Александровна
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 265 с.

В ведение

Глава 1. Метод Миттаг-Леффлера

§1. Теорема Коши о разложимости аналитической функции в ряд,

понятия элемента Вейерштрасса и аналитического продолжения

§2. Теорема Рунге

§3. Определение прямолинейной звезды

§4. Метод Миттаг-Леффлера

§5. Метод П. Пенлеве

§0. Приближение голоморфного решения задачи Коши в звезде

Миттаг-Леффлера и оценка погрешности приближения

§7. Вычисление множителей сходимости

§8. Компьютерная реализация вычисления множителей сходимости
Глава 2. Аппроксимации Паде
§1. Аппроксимации Паде: основные определения и принципы
построения
§2. Сходимость аппроксимаций Паде
Глава 3. Эллиптические функции
§1. Мероморфные функции
§2. Эллиптические функции
§3. р(.г)-функция Вейерштрасса
§4. Новый подход к вычислению значений р(г)-функции
Глава 4. Применение аналитических методов
к решению задач механики
§1. Задача о сферическом маятнике

§2. Уравнение Дуффинга

Заключение. Литература. Приложения

1. Количество членов в полиноме в зависимости от п - номера полинома и и (120). 2. Численные значения множителей сходимости при v = 1 (123). 3. Численные значения множителей сходимости при и = 2 (138). 4. Численные значения множителей сходимости при v = 3 (146). 5. Численные значения множителей сходимости при v = 4 (156). 6. Численные значения множителей сходимости при v = 5 (162). 7. Численные значения множителей сходимости при v = 6 (173). 8. Численные значения множителей сходимости при v = 7 (176). 9. Численные значения множителей сходимости при v = 8 (181). 10. Численные значения множителей сходимости при v — 9 (187). 11. Численные значения множителей сходимости при v = 10 (195). 12. Численные значения множителей сходимости при и = 11 (205). 13. Численные значения множителей сходимости при и = 12 (218). 14. Численные значения множителей сходимости при // = 13 (220). 15. Численные значения множителей сходимости при v = 14 (222). 16. Численные значения множителей сходимости при и = 15 (224). 17. Численные значения множителей сходимости при и = 16 (226). 18. Численные значения множителей сходимости при v = 17 (229). 19. Численные значения множителей сходимости при и = 18 (232). 20. Численные значения множителей сходимости при и — 19 (235). 21. Численные значения множичелей сходимости при и = 20 (238). 22. Численные значения множителей сходимости при и = 29 (242). 23. Численные значения множителей сходимости при v — 30 (249). 24. Описание и листинги программ основной процедуры вычисления множителей сходимости и вспомогательных процедур (256). 25. Описание и листинги программы для численного построения полиномов (258). 26. Описание и листинги программ для численного решения уравнения Дуффинга методом Миттаг-Леффлера (260). 27. Описание и листинги программ для численного решения уравнения Дуффинга мс1 одом аппроксимаций Паде (262).

Данная работа основана на двух взаимосвязанных методах построения частных решений голоморфных систем дифференциальных уравнений: методе Миттаг-Леффлера и методе построения аппроксимаций Паде.
В основу исследований положены классические результаты основателей комплексного анализа: Вейерштрасса, Миттаг-Леффлера, Рунге, Паде, полученные в середине 19-го и начале 20-го веков, касающиеся приближения однозначных аналитических функций полиномами и рациональными функциями. Применением их результатов к меюдам построения решений дифференциальных уравнений в задачах механики занималось не одно поколение математиков, образованы целые школы. Однако, до сих пор, многие вопросы остались без ответа. Более того, привлекательные на первый взгляд, теоретические результаты, на практике при численной их реализации для исследования конкретных механических систем, столкнулись с такими компьютерными трудностями, что у многих вычислителей был потерян всякий интерес от безнадежности.
В области небесной механики в 60-х годах 20-го века в институте теоретической астрономии В.А. Брумберг пытался применить меюд Миттаг-Леффлера приближения полиномами к задаче трех тел, но на практике рассчитывая множители сходимости на вычислительной технике того времени столкнулся с большими трудностями, отказался от этой идеи, и вообще от этого метода [16].
В наше время метод приближения полиномами функций в своих звездах Миттаг-Леффлера встречается довольно редко в теоретических разработках как российских [47, 65, 71, 70], так и зарубежных [92, 93] ученых.
На метод построения аппроксимаций Паде первыми, обратившими внимание среди русских ученых, были московские математики A.A. Гончар и С.П. Суегин [32, 33, 34] из института математики им. В.А. Стеклова. При их содействии и непосредственно под их руководством в 1986 году была переведена с английского языка и издана монография Дж. Бейкера, П. Грейвс-Морриса "Аппроксимации Паде"[9], которая вызвала интерес не только математиков, но и механиков, и физиков. Она до сих пор остается наиболее полной и содержательной монографией по методу рациональных аппроксимаций - аппроксимаций Паде.
С развитием вычислительной техники и выходом монографии [9] метод аппроксимаций Паде находит все большее применение в теоретических и прак-

Следует подчеркнуть различие между проблемами, возникающими при приближении функций аппроксимациями Паде:
1) проблема сходимости аппроксимаций Падс;
2) проблема построения аппроксимаций Паде.
Итак, аппроксимации Паде определяю гея непосредственно из формул (2.1.6) и (2.1.7). Из (2.1.6) с помощью правила Крамера можно получить явный вид коэффициентов Ьи і = 1,2 М. Пренебрегая числовым множителем, запишем
Рассмотрим выражение:
ад-м+1 ад-м+2 • • ад ад+і
СЧ-М+2 ад-м+з . • ад+1 ад+2
ад-1 ад • ад+м- 2 ад+м
ад ад+і • ад+д/_1 ад+д
2м гм~' . . г
(2.1.8)
00 ад-м+1 ад-м+2 ад-м+2 ад-м+з .. ад+і •• ад+2
Ят(г)]Гагг' = ад-і ад .. ад+д/_і
г=0 ад ад+і • • ад+м
00 Е«.*"+' г=0 00 Е аГгм+1~1 . г=0 ОО .. Е а%г1 1
Вычитая из последней строки первую, умноженную на г1'+1, затем вторую, умноженную на гь+2, и т.д. вплоть до предпоследней строки, умноженной на гь+м, получим определитель, у которого ряды в последней строке имеют лакуны длины М. Сохраняя только начальные отрезки этих рядов, приходим к определителю
рМмг)
ад-м+1 ад-м+2 .. ад+і
ад-м+2 ад-м+з •• ад+2
ад-і ад .. ад+м-і
ад ад+і • • ад}д
д-м Д-М+1 д
Е а„гл/+‘ Е а,*^«-1 .. Ёаг2г
1=0 1=0 1
(2.1.9)