Неантагонистические дифференциальные игры с неограниченной продолжительностью

• Автор: Адрианов, Алексей Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 104 с.

Глава I. БЕСКОАЛИЦИОННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С ИНТЕГРАЛЬНЫМИ ВЫИГРЫШАМИ НА БЕСКОНЕЧНОМ ПРОМЕЖУТКЕ ВРЕМЕНИ.

§1. Постановка задачи и основные предположения

§2 Нормальная форма дифференциальной игры т лиц

§3. Необходимые сведения об операторах значения антагонистических

дифференциальных игр

§4. Траектории типа х" (■) и х'(-)

§5 Существование и структура решения игры. Равновесные траектории

§6 Характеристическое свойство равновесных траекторий

§7 Модель динамического распределения общественных благ

Глава II. КООПЕРАТИВНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬЮ.

§1 Стабильность кооперативных решений дифференциальной игры. . §2 Идентификация стабильно равновесных траекторий в терминах решения дифференциального включения
§3 Локальный подход к построению кооперативных решений
§4 Конструкции кооперативных решений
§5 Кооперативные решения в модели динамического распределения общественных благ .
Заключение
Список литературы

Теория дифференциальных шр занимается исследованием динамических моделей принятия решений в условиях конфликта и неопределенности Источником развития згой теории послужили практические задачи из области экономики, экологии, управления механическими и биологическими системами, военного дела При рассмотрении таких задач, как правило, приходится учитывать динамику изменения состояния управляемой системы, а также наличие нескольких управляющих сторон, имеющих различные субъективные цели.
Становление теории дифференциальных игр связано с работами Р. Айзекса, которые были посвящены, в основном, решению задач преследования и формулировались в виде антагонистических дифференциальных игр [7]. В нашей стране первые исследования антагонистических дифференциальных игр принадлежат академикам Л С Понтрягину [40], [39], Н Н. Красовскому [26], [27], а также их ученикам [44] и представителю ленинградской школы теории игр — Л. А. Петросяну [33]. Их результаты способствовали развитию теории неантагонистических дифференциальных игр Существенный вклад в разработку этой теории внесли Э Вайсборд, В И Жуковский, А. Ф Клейменов, А. Ф. Кононенко, Л. А. Петросян, Э Р Смольяков [41], [42], Н Т. Тынянский, С. В Чистяков и другие.
В частности, В И. Жуковский в своих оригинальных работах одним из первых указал на принципиальные проблемы, связанные с применением методов классической теории игр (таких как равновесие по Нэшу и оптимальность по Парето) и математической теории оптимального управления (принцип максимума Понтрягина и оптимальности Веллмана) к решению дифференциальных игр Им также была предпринята попытка выделить основные направления теории неантагонистических дифференциальных игр- бескоалиционные, коалиционные, кооперативные и иерархические игры. В его работах [10], [16], [17], проводятся обширные исследования по каждому из названных направлений
Исследованиям неантагонистических дифференциальных игр посвящены многие работы А Ф Клейменова [18]-[20]. В качестве решения неантаз онисти-ческой дифференциальной игры с терминальными выигрышами он, наряду с традиционным равновесием по Нэшу, рассматривает решения, основанные на принципах оптимальности по Парето и по Штакельбергу, а также кооператив-

ные решения, иредусмспривающие, чго в ходе игры каждый из игроков может производить непрерывные выплаты остальным ш рокам
Своеобразный подход к исследованию кооперативных дифференциальных игр, в центре которого лежит понятие динамической устойчивости принципов оптимальности, изучен в работах Л. А Петросяна [34)
В теории неантагонистических дифференциальных игр прежде всего возникает задача об отыскании ситуаций равновесия или е-равновесия при любом е > 0. Поскольку в общем случае приходится иметь дело г целым множеством траекторий, пригодных для реализации принципа равновесия (и разным из них соответствуют, вообще говоря, разные векторы выигрышей), то возникает также задача сужения этого множества, а в идеале — выбора из него единственной траектории.
Достаточно полное исследование первой задачи проведено для дифференциальных игр с терминальным выигрышем на конечном промежутке времени. Эти исследования начались с работ А. Ф. Кононенко [22]-[24], который, используя формализм теории позиционных антагонистических дифференциальных игр, получил первые наиболее общие результаты, относящиеся к бескоалиционным дифференциальным играм двух лиц. В частности, в терминах движений управляемой системы, он указал достаточные условия существования ситуации е-равновесия в этом классе игр
В работах С В Чистякова [51]-[53], [57] близкая к подходу Кононенко идея была положена в основу построения теории бескоалиционных дифференциальных игр тп лиц (т > 2) с терминальными выигрышами игроков. В часгности, установлено существование решения рассматриваемой игры (те. существование в игре ситуации е-равновесия при любом г > 0) в терминах ограничений на правую часть системы дифференциальных уравнений, описывающих управляемый процесс В основу построения ситуаций е-равновесия в исходной неантагонистической дифференциальной игре были положены программные конструкции решения антагонистических дифференциальных игр описанные, в частности, в [55] Решение проблемы сужения множества равновесных траекторий оказалось возможным на основе перехода от бескоалиционной дифференциальной шры к кооперативной

и пусть
Ь[Ги„х0,141*0, Т), ,и'т[1п,Т)) = <[Т, +00),
где управления и'[^_ь^) и и'[Т, +оо) являются сужениями управления и[() на соответствующие полуинтервалы Теперь заметим, что как бы ни были доопределены отображения Ьке, 1 = 1,тп, к = 2,щ + 1 к как бы ни были, вообще, определены отображения bkK, г = 1, m, к = п + 2,щ + гг2, будем иметь
x(t, t0, х0, Vе) = x'(t), t 6 [£0, +оо) (14)
Доопределим теперь стратегии C/f, г £ /, таким образом, чтобы ни одному из игроков не выгодно было отклонятся от траектории х'{). С згой целью построим минимизирующую последовательность стратегий игрока (коалиции)
./(г) в антагонистической игре T,(D) на основе последовательных приближений с, , которые, как отмечалось в §3, строятся по формулам
w?2(t„xt) = min min ьир [wlk+"lt,x{t,tt,x„ut{-),uJM))+ t>t. иЛ1)еР,(0 Ui()

+ J hl{T,x{T,t„x,,ut(),uj(x)),ul(-),Uj{l))dT, (t„x.) £ D, к £ N, (15) u
где Рд,) = П P„ а операция sup берется по всем допустимым на полу-
]=1,тп,
интервале [£,,+оо) программным управлениям «,(•), при этом функция wj+(-) определяется но правилу
+00
w[°^(U,x,)= min sup / ht(r,x(T,t.,x.,ut(-),uj(t)),u,(-),uj(t))dT. (16)
uj(,)€Pj(0 u,() J
Обозначим через и^ = {ujÜ)}j^2 набор управлений коалиции J(i), доставляющий минимум по uj(,) £ Рд,) в правой части равенства (16) при t, — ta, х, = Xq, а через = {и1]к'1}}^г - набор управлений коалиции J{i), доставляющий минимум по ид,) £ Pj(x) в правой части равенства (15).
Стратегии £ Пдц, к £N, определим рекуррентно
t/W _ /yWI - (ак v{h'1]) £ П (171
VJM+ Jt+ ~ JtH JI+
считая, что стратегия E Пд,) имеет вид
И0) = Vm=a°
Р/(.)+ -П+ >'+'