Некоторые применения измеримых многозначных отображений к задачам управления в банаховом пространстве

• Автор: Суслов, Сергей Иванович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1984
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 95 c. : ил

Глава I. Замкнутость и компактность пучка траекторий динамической системы

§ I. Предварительные сведения

§ 2. Замкнутость пучка траекторий

§ 3. Необходимые условия замкнутости пучка траекторий

§ 4. Линейные системы

Глава II. Динамические системы с заданными свойствами

§ I. Когда многозначная функция является интегралом Аумана или теорема Радона-Никодима

для многозначных мер

§ 2. Реализация многозначных функций линейными

управляемыми системами

Литература

I. В последние годы большое развитие, как в теоретическом, так и в практическом плане, получила теория оптимального управления, основы которой были заложены А.С.Донтрягиным,
В.Г.Болтянским, Р.В.Гамкрелидзе и Е.Ф.Мищенко в 1959 году в их фундаментальной работе Гб] . В [6] впервые в монографической литературе в явном виде была сформулирована ставшая с тех пор стандартной математическая постановка общей задачи оптимального управления:
- поведение объекта на временном отрезке 7~- 10,11 описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений с параметром
Ш* {К,хК),и.Ш) , (0.1)
- в каждый момент времени ^ ^ параметр и. И) , называемый управлением, можно менять в пределах некоторого замкнутого ограниченного множества О И) ;
- на множестве пар (сс,Х(И-)) , где и - управление на отрезке Т , а А(СИ) - соответсвующая ему траектория, т.е. решение системы (0.1), задан функционал Г/ со значениями в
К ;
- требуется найти такое управление и* , что для любого управления и справедливо

2(u*x(u*)) ± 0(u,x(ti)), (0.2)
Обозначая множество [-fF,X,u,): и 6 U(t)J через F(t,X) ,
получаем задачу в близкой постановке с привлечением дифференциальных включений
X(t) (■ F(tj x(t)) (0.3)
7(X) —г men (0.4)
Работа Гб1 посвящена получению необходимых условий оптимальности управления - наиболее важному с точки зрения приложений разделу теории. Однако в общей теории немаловажное место занимает и вопрос существования оптимального решения, который в конечном счете сводится к тому, достигает ли функционал своего экстремума на области определения. Ответ на этот вопрос зависит от двух факторов: свойств функционала и свойств его области определения. В задачах оптимального управления областью определения функционала, как правило, является пучок траекторий, т.е. совокупность всех траекторий исходящих из начальной точки, или область достижимости за некоторое время UT , т.е. сечение пучка траекторий в этот момент времени ttT .в предлагаемой диссертации предпринимается изучение этих объектов для динамических систем вида (0.1) (0.3) в различных пространствах.
В первой главе изучаются такие их топологические свойства, как замкнутость и компактность, а в случае линейных систем - также и их экстремальная структура.
Во второй главе ставится в некотором смысле обратная задача: построить линейную систему с заданными областями достижимости. Дается ее приближенное решение для любых заданных областей достижимости в , а также условия точной разреши-

Заметим теперь, что для всех £хр^Е найдётся такой номер ХСХ/1) С Б , что
со О Г(Х^ Б)) Б(ХБ)) с В/е) ■
п>, г а, О
Здесь на самом деле проверки требует только случай, когда Х(() = О , так как в остальных точках функция Б непрерывна и выпуклозначна. В случае, когда Х(У)=0 , существенным становится то, что XБ) X- Б Б) при всех Г С Т Б , пел/. Теперь справедливость включения X Б) ^ В/Х Б)) почти всюду на /' Е можно получить либо через лемму 2.1, либо по схеме Берковица (см. введение).
Таким образом, получили, что ХБ/С Б/ХБ)) почти всюду на Б , что заканчивает доказательство.
§ 4. Линейные системы
В этом параграфе исследуется пучок траекторий Б~/Б) линейной системы