Построение линейных кодов в полях алгебраических функций

• Автор: Глухов, Михаил Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 115 с. : ил.

Глава I. Вспомогательный материал

§ 1. Сведения из теории полей алгебраических функций

§2. Сведения из теории алгебраических кривых

§3. Сведения о линейных кодах над конечными полями

Глава II. Многочлены Степанова и их обобщения

§ 1. О неприводимых делителях многочленов

§2. О корнях многочленов

• §3. Суммы характеров от многочленов и число решений

уравнений, определяющих соответствующие кривые

Глава III. О свойствах алгебраических кривых и полей

алгебраических функций § 1. О свойствах алгебраических кривых

§2. О свойствах полей алгебраических функций
Глава IV. Об алгебро-геометрических кодах Гоппы
§ 1. О выборах дивизоров, определяющих коды Г оппы
§2. О кодах Гоппы в случаях I, II
§3. О кодах Г оппы в поле Г в случае III
§4. О кодах Г оппы в поле Т7 в случаях IV-V
Заключение
Список основных обозначений
Литература

Теория кодирования является одним из больших и хорошо развитых разделов дискретной математики. В последние годы в связи с усилением роли информатизации и увеличением объемов передаваемой на большие расстояния информации значение теории кодирования продолжает возрастать. В частности, в последние годы появилось большое число работ, посвященных применению теории кодирования в криптографии (см., например, [40], [24], [25]).
Одна из главных задач теории кодирования заключается в создании кодов с требуемыми практикой корректирующими свойствами и допускающих сравнительно простую реализацию алгоритмов кодирования и декодирования.
Развитие теории кодирования происходит в различных направлениях. Имеются работы, в которых расширяются алгебраические структуры, на которых строятся коды. Так, например, рассматриваются коды над кольцами, модулями, некоммутативными алгебрами и т.д. (см., например, [26] и обзорную работу [38]). Расширяются также и средства построения кодов. Так, например, имеются работы по построению кодов с применением линейных рекуррентных последовательностей, квазигрупп и проективных плоскостей (см., например, [33], [19], [22], [23]). В связи с этим создаются и новые методы оценки параметров соответствующих кодов. В некоторых работах указываются более тонкие оценки корректирующих свойств кодов, находятся новые параметры кодов, исследуются вероятностные характеристики корректирующих способностей кодов и т.д.
Одно из основных направлений теории кодирования относится к рассмотрению методов построения линейных кодов над конечными полями.

щ В последние десятилетия для построения таких кодов особенно интенсивно используются методы алгебраической геометрии и теории полей алгебраических функций. Коды, построенные таким образом, стали называть алгебро-геометрическими кодами.
Первыми работами в этом направлении являются работы В.Д.Гоппы [16], [15], [17], в которых автор предложил строить коды на точках алгебраических кривых. В последствии это направление развивалось многими авторами. В 1984 г. появился обзор С.Г.Влэдуца и Ю.И.Манина работ по кодам на модулярных кривых (см. [3]). В настоящее время имеется ряд монографий, посвященных методам построения и исследованию свойств алгебро-геометрических кодов (см., например, [46], [44], [6]).
4 В.Д.Гоппа показал, что с помощью его конструкции можно строить
хорошие коды, и в частности, асимптотически длинные коды информационная мера которых достигает известной границы Варшамова-Гилберта. Вскоре после этого М.А.Цфасман [32], а также независимо С.Г.Влэдуц и Т.Цинк заметили, что среди геометрических кодов Гоппы существуют коды с информационной мерой, превосходящей указанную границу, которая до этого долгое время оставалась не улучшаемой (см. [47]). При построении таких кодов использовались алгебраические кривые с большим числом точек над конечным полем, в частности, классические мо-* дулярные кривые Шимуры. При этом, как было доказано С.Г.Влэдуцем
[4], [5] такие коды строятся за полиномиальное время.
В дальнейшем в ряде работ рассматривались алгоритмы декодирования (см., например, [42], [43], [49], [36]), а также коды на конкретных классах кривых (см., например, [1], [35], [45], [48]). В ряде работ хорошие коды строились в виде различных комбинаций геометрических кодов Гоппы, таких как каскадное соединение [18] и расслоенные произведения [29],

(п+1)/2 (п—1)/2
= п ((,»)»'“п (м1'"*'“4''+ (,«Г‘) *
і=1 А
(п-і)/2 (п+1)/2
х п М'"‘+(/*х)ї'"',,,+м) • П (о*»)’""1""*+(^Г) = /=1
(п+1)/2 (п—1)/2
= П М,‘"‘• п ((^г‘+(,.х)«'"и/№‘).
г=1
Теперь учитывая, что для характера х5 индекса в поля СіДд) выполняется равенство хЦа3) = Х«(аУ = У а / У получаем
Зп,4Л = 52 хЛп°гтп/(х)) = - ЛГ,
жєСіХї")
где N - число корней многочлена /(т) в поле (ЗіЦд”). Для доказательства утверждения а) осталось воспользоваться утверждением теоремы
ІІ.З
б) Для каждого х Є СР(дп)
погтп$(х) = Д + (дж)9П/2+’-2) • Д + (дж)9"/2+7)
і=1 І
п/2+1
п ((і«гфг“)‘- п (('“)*"'+х
і=1 к=п/2+2

П + (мхГ*') . П (<мх)-“ + (мх)*-'“)
3=1 І—п/2
п/2+1 п/2
- п («•“+- П (м*"'”+(»“»'‘"У х
І = 1 Й

п/2-1 п/2+1
Д ((д®)?3_1 + і^уп,2+1) • Д ((^)9”/2+і"2 + о^)"1"1)
/=1 (