О двойственности Гейла и смежностных случайных многогранниках

• Автор: Бродский, Алексей Германович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 80 с.

Содержание
Введение
1. О двойственности Гейла и двойственности
вероятностных пространств
2. О /с-космежностности и /с-смежностности
случайной системы точек
3. О 2-смежностности случайного
0/1 многогранника Ра,А{п)-модели
Список литературы

Введение
Исследования по теории выпуклых многогранников, тесно связанной с дискретной оптимизацией, проводились многими авторами (см., например, книги и статьи [16,3,6,20-22] и приведенную в них библиографию). Основные результаты диссертации находятся на стыке трех тесно связанных между собой разделов этой теории: смежностные многогранники, двойственность Гейла, случайные многогранники. Для каждого из них интенсивное развитие в последние десятилетия привело к трудной обозримости известных к настоящему моменту результатов и установлению связей с различными областями математики и приложениями.
Когда не оговаривается противное, всюду ниже d, т, п — натуральные числа, а к — целое неотрицательное число; кроме того, используются обозначения: р, q = {р,р + 1
= {и G | |и| 1} и §_i = {a G Rd | |п| = 1} — единичные шар и сфера в Md; S-i = §d-i U {0} — результат присоединения к сфере Sd-i точки 0 G Rd; X — непустое подмножество в Krf; Хп — множество всех систем п точек из X (в частном случае X = полагаем Mrf,n = (Rd)"); Z — непустое подмножество в Ша,п; LinConf(Z) и AffConf(Z) — множества всех векторных и всех точечных конфигураций из Z; LinGeP(Z) и AffGeP(Z) — множества всех систем точек из Z, находящихся соответственно линейно в общем положении и аффинно в общем положении; lin а = lin(ai
Система точек a G Rrf’n называется к-смежностной [46, 48], если п к + 1 и всякая ее ненулевая аффинная зависимость (Ai

(ах,, а„) € М ,п является /с-смежностной тогда и только тогда, когда ее выпуклая оболочка сошДах
В статье [45] Д. Гейл предложил конструкцию, позволяющую по некоторым векторным конфигурациям из ЫпСопХ"), где X = Бт_х и п т + 2, строить точечные конфигурации (в том числе /с-смежностные) из АЯСопК"), где в, = п—т—1 и к [Л/2, Систему точек а € К'*’” будем называть к-космежностной (в Ш1), если п к + 1 и всякое открытое линейное полупространство в Ж'1 содержит хотя бы к + 1 точек системы а. Такие системы точек под различными названиями изучались многими авторами. Именно /с-космежностность исходной системы точек является условием, необходимым и достаточным для получения /с-смежностной системы точек в результате применения конструкции Гейла [48].
Дальнейшее развитие идей статьи [45] привело к созданию метода преобразований Гейла и диаграмм Гейла [48] и построению двойственности Гейла [73]. Нужная нам версия этой двойственности, которую будем называть векторной двойственностью Гейла, задается парой определяемых в предположении, что п — д + т, многозначных отображений: vgtЛп из ГлпСопВ’") в ЬтСоп£(Мт,п) и vgtrnln из ЫпСоп!:(М'п’п) в ЬтСопГ(М6*’"). Условимся для системы точек а — (ах, ,а„) € Ша,п, где аг = (а*
В теории случайных многогранников, отраженной в книгах по геометрической вероятности, интегральной и стохастической геометрии (наи-

Из леммы 1.6 вытекает
Лемма 1.21 .Для <1,п Є К; 1 Є 1, гг; подсистемы I = (г2
а/, а) Є систем точек а, а' Є условие а вТ а' влечет за собой, что а/ вТ а!1.
Лемма 1.22. Пусть <і, п Є М; к Є Ми {0}; )Д є 1 ,п; I — где 1 гі < ... < ц п, — подсистема системы чисел (1,2
1) j-oй компонентой системы является точка 0;
2) линейный ранг системы равен г;
3) система является векторной конфигурацией в Мй;
4) система является строгой векторной конфигурацией в
5) точки системы находятся линейно в общем положении;
6) система является неотрицательно зависимой;
7) система является векторно к-смежностной;
8) всякая ненулевая линейная зависимость (Аі
9) система является слабо к-космежностной;
10) система является к-космежностной;
11) I-подсистема системы является О-космежностной системой точек из
Если а обладает одним из свойств 1)-11), то и а’ обладает тем же свойством (т.е. свойства 1)-11) инвариантны относительно группы ЄЬ
Доказательство. 1), 2). Справедливость утверждения леммы для этих свойств легко устанавливается с помощью леммы 1.6.
3). Ввиду уже доказанного утверждения для свойства 2).