Обобщенное уравнение Айзекса-Беллмана в теории дифференциальных игр

• Автор: Никитин, Федор Федорович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 135 с.

Содержание
ВВЕДЕНИЕ

Глава I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С ФИКСИРОВАННЫМ МОМЕНТОМ ОКОНЧАНИЯ

§1. Постановка задачи и основные предположения

§2. Основные положения метода программных итераций

§3. Вспомогательная оценка

§4. Теорема существования и единственности решения обобщённого

уравнения Айзекса-Беллмана

§5. Существование и структура решения игры в классе позиционных

стратегий

§6. Задача о мальчике и крокодиле

Глава II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ НА ПЕРЕХВАТ
§1. Постановка задачи
§2. Операторы значения и их свойства
§3. Обобщённое уравнение Айзекса-Беллмана
§4. Конструкция решения игры в классе рекурсивных стратегий
Глава III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИГРЫ С НЕОГРАНИЧЕННОЙ ПРОДОЛЖИТЕЛЬНОСТЬЮ
§1. Постановка задачи и операторы значения
§2. Теорема существования цены дифференциальной игры
§3. Свойства операторов значения
§4. Последовательные приближения и их сходимость
§5. Обобщённое уравнение Айзекса-Беллмана и теорема существования и единственности решения
§6. Существование и структура решения игры в классе рекурсивных
стратегий
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы. Теория дифференциальных игр изучает задачи конфликтного управления при наличии двух или более сторон, имеющих свои интересы и располагающих средствами воздействия на динамическую систему, описываемую системой дифференциальных уравнений. Практические задачи из области экономики, экологии, биологии, управления механическими системами, а также военного дела являются лишь некоторыми приложениями теории дифференциальных игр. Как показали исследования дифференциальных игр, важнейший их класс образуют изучаемые в диссертации антагонистические дифференциальные игры, к решению которых сводится и решение формально более общих неантагонистических (бескоалиционных) дифференциальных игр.
Существенный вклад в развитие теории дифференциальных игр внесли отечественные научные школы, и, прежде всего, школы академиков Л. С. Понтря-гина [15, 21, 22, 23, 29]1 и Н. Н. Красовского [1, 9, 10, 11, 13, 14, 34, 35, 36, 37, 38, 39, 42, 43, 68]. Первой из них разработаны методы изучения игр сближения-уклонения, сходных по своей постановке с задачами управляемости в теории управления. Второй школой построена теория позиционных дифференциальных игр, которые обобщают задачи оптимального управления. Представляемая диссертация непосредственно примыкает ко второму из упомянутых направлений исследований дифференциальных игр.
Принципиальное отличие задач теории дифференциальных игр от задач оптимального управления состоит в том, что их решение в общем случае необходимо искать в классе стратегий, устроенных по принципу обратной связи или в каких-то других подобных классах (например, в классе кусочно-программных стратегий). В известной мере это предполагает предварительное построение функции значения (функции Веллмана [54]) дифференциальной игры. Предложенное Р. Айзексом [3] для её отыскания уравнение в частных производных первого порядка в рамках классического метода характеристик требует, чтобы она была дифференцируемой, однако обычно это не имеет места. В связи с этим в теории дифференциальных игр появились направления, в которых изучаются либо
1К работам школы Понтрягина тесно примыкают оригинальные исследования киевской школы [30, 31, 32, 55].

определённые обобщённые решения уравнения Айзекса-Беллмана (обобщённые решения Кружкова [12], вязкостные решения Лионса-Крэндалла [56, 57, 65, 66], минимаксные решения А. И. Субботина [13, 14, 36, 38]), либо определённые обобщения самого уравнения Айзекса-Беллмана, в частности, дифференциальные неравенства А. И. Субботина [34, 36], уравнения Ченцова-Чистякова [42, 43, 46, 51].
Последние уравнения составляют основу метода программных итераций [37, 42, 43, 45, 46, 51], возникшего в связи с исследованиями нерегулярных дифференциальных игр и связанной с ними проблемой построения максимальных стабильных мостов — одних из основных конструктивных элементов решения дифференциальной игры по рецептам теории позиционных дифференциальных игр Красовского-Субботина [9, 11, 35]. В ходе упомянутых исследований попутно были обнаружены предпосылки использования этих уравнений и метода программных итераций в целом в качестве новой основы построения теории дифференциальных игр.
В диссертации рассматриваются дифференциальные игры, описываемые системой дифференциальных уравнений с ограничениями на управления геометрического характера2.
= Ж, х, и, v)
(t 6 [to,T),T < +оо3,ж € Rn, и еРб CornpRm,v £ Q £ CompRl) из некоторого начального состояния

на конечном или полубесконечном промежутке времени.
Качество процесса управления оценивается некоторым функционалом
7i(x(-),u(-),v(-)) —* maxmin/minmax,
(«) (и) (и) (и)
при этом здесь предполагается, что первая сторона, распоряжающаяся управлением v, стремится достичь как можно большего значения функционала 77,
2Наряду с геометрическими ограничениями в теории дифференциальных игр рассматриваются также интегральные ограничения на управляющие функции [40].
З3десь [fo, Т1) = 1*0,7’], если Т < +оо и ]*о,7) = ]t0,+oo), если Г = +оо.

точек множеств В(аи) , при к < п следует из индукционного предположения и того, что
*£(“) С (о).
Покажем теперь, что
и = V.

С учётом включений (55) достаточно доказать включение
и В£н => V. (56)

Прежде всего заметим, что из определения множеств В1ка) вытекают следую-щие равенства
= Р-Д«) П ... П р£>(а) П Р&И.
пп-1(а) = СРпп-Да) 61 Тп-Ы-Д**) П ... П Р_п (<*) П Р_о(а)>
В™-2(а) = с271п-2(а) п 61..ПРДа) П ©„(а),
= с2)(°) 61 сРЦДа) П... ПР'а) П Ра).
4Т>(а) = срМ(а) П сРДа) П ... П сРН П Ра).
®1о(а) = сР1о)(а) 61 сР~(а) П ... П сР20(а) П сРа).
Таким образом,
В$(“) = (а) П ... П сРЦДа) П (а) 61... П Р#(а), (57)
/С = 0, 1, . ,71.
Предположим теперь, что включение (56) не имеет места, т. е. существует позиция (4, х) £ Р, непринадлежащая ни одному из множеств Вк(а), к = .0,1
в<пк-{а) = сВ>{~_]1к.(а) П ... П сР1г|ц.(а) 61 Рй„_Да) П ... П Р(а),