Обобщенные пирамиды Паскаля и их приложения

• Автор: Кузьмин, Олег Викторович
• Шифр специальности: 01.01.09
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Иркутск
• Количество страниц: 234 с. : ил

Оглавление
Введение
1 Обобщенные пирамиды Паскаля
1.1 Треугольник Паскаля и его обобщения
1.1.1 Биномиальные коэффициенты и треугольник Паскаля
1.1.2 Другие арифметические треугольники
1.1.3 Обобщенный треугольник Паскаля
1.1.4 Частные случаи
1.1.5 Перечислительные интерпретации
1.2 Пирамида Паскаля и ее обобщения
1.2.1 Триномиальные коэффициенты и пирамида Паскаля
1.2.2 Обобщенная пирамида Паскаля
1.2.3 Частные случаи
1.2.4 Перечислительные интерпретации
2 А- и В-пирамиды
2.1 А- и В-треугольники
2.1.1 Обобщенные числа Стирлинга
2.1.2 Производящие функции
2.1.3 Обобщенные числа Фибоначчи
2.1.4 Частные случаи
2.1.5 Перечислительные интерпретации
2.2 А- и В-пирамиды
2.2.1 Обобщенные триномиальные коэффициенты
2.2.2 Производящие функции

2.2.3 Рекуррентные соотношения
2.2.4 Перечислительные интерпретации
2.3 Обобщенные числа Трибоначчи
2.3.1 Построение
2.3.2 Рекуррентные соотношения
2.3.3 Частные случаи
2.4 Взаимные преобразования комбинаторных чисел
2.4.1 Обобщенные числа Стирлинга и Фибоначчи
2.4.2 Обобщенные триномиальные коэффициенты и обобщенные числа Трибоначчи
3 Комбинаторные полиномы разбиений
3.1 Однородные полиномы Белла и Платонова
3.1.1 Введение
3.1.2 Рекуррентные соотношения
3.1.3 Частные случаи
3.1.4 Связь с симметрическими функциями
3.1.5 Интерпретации
3.2 Полиномы Тушара и Р-полиномы
3.2.1 Введение
3.2.2 Рекуррентные соотношения
3.2.3 Частные случаи
3.2.4 Интерпретации
3.3 Обобщенные А- и В-полиномы
3.3.1 Введение
3.3.2 Рекуррентные соотношения
3.3.3 Частные случаи
3.3.4 Перечислительные интерпретации
3.4 Взаимные преобразования полиномов
3.4.1 Однородные полиномы Белла и Платонова
3.4.2 Полиномы Платонова и обобщенные В-полиномы
3.4.3 Т-полиномы Тушара и Р-полиномы
4 Приложения
4.1 Пути на решетках
4.1.1 Введение

4.1.2 Пути Моцкина
4.1.3 Пути Мак-Магона
4.2 Плоские корневые деревья
4.2.1 Помеченные корневые деревья
4.2.2 Непомеченные корневые деревья
4.3 Случайные блуждания
4.3.1 Случайные блуждания на плоскости
4.3.2 Процессы рождения и гибели
4.4 Дискретные процессы восстановления
4.4.1 Введение
4.4.2 Простой процесс восстановления
4.4.3 Обобщения простого процесса восстановления
4.4.4 Процессы восстановления со случайным временем
4.4.5 Интерпретации
Заключение
Литература

В работе [231] показано, что числа Сп,к выражаются в виде сумм произведений чисел Каталана по формуле
CnJs = j:CilCi3...Cik, (1.20)
где суммирование проводится при i + *2 + ■ • - + Ч — п• Каждый элемент этого треугольника выражается через числа Каталана; треугольник назван треугольником Каталана. Изучены различные свойства треугольника Каталана, аналогичные свойствам треугольника Паскаля.
В [224] рассматривается ряд вопросов, связанных с восстанавливающимися последовательностями, что позволило сделать некоторые обобщения треугольников Паскаля и Каталана, связанные с введением обобщенных последовательностей Каталана {Q(n)}, п > 0, где
ОД = 1 р + , п > 0, t > 0.
tn+ 1 п J
При 1 = 1 имеем С(п) = Сп, где Сп — числа Каталана (1.19).
В [142] из чисел т(п,к), удовлетворяющих соотношению
т(п + 1}к) = т(п, к — 1) + т(п, к) + т(п, к + 1) (1-21)
с начальными условиями m(0,0) = т(1,0) = т(1,1) = 1, строится треугольник, названный треугольником Моцкина. При к = 1 имеем
тп(п, 1) = Мп, где {Мп} = {1, 1, 2, 4, 9, 21, 51, 127, ...} — числа
Моцкина (см. [234, с. 63]), которые могут быть заданы соотношением

Е Мпхп = -^[1 - X - (1 - 2т - З*2)1/2].
п=о 2т
Приведем соотношение между числами Моцкина и числами Каталана
[п/'А (п
Мп = Е (2îjCi, П > 0. (1.22)
Последовательность чисел Трибоначчи [234, с. 60]) {/„} = {1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, ...}, может быть определена рекуррентным соотношением:
tn+i — ^п+2 4“ ^п+1 4“ (1.23)
с начальными условиями 1q = h = К h — 2.