О некоторых кубатурных формулах для областей с гладкими границами

• Автор: Санеева, Людмила Ивановна
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Улан-Удэ
• Количество страниц: 139 с. : ил.

I. Оптимизация узлов кубатурных формул

1Л. Основные понятия

1.2. Оптимизация узлов кубатурных формул

II. О некоторых кубатурных формулах для областей с гладкими границами в пространстве IV (Еп)

2.1. Кубатурные формулы для областей с гладкими границами

2.2 Вычисление определенного интеграла с помощью эрмитовых кубатурных

формул с коэффициентами, зависящими от уравнения границы

ЗАКЛЮЧЕНИЕ
ЛИТЕРАТУРА
ПРИЛОЖЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ
ПРИЛОЖЕНИЕ

Теория квадратур рассматривает методы, позволяющие находить

приближенные значения интегралов для широких классов функций

(р{х), сводящих вычисление интеграла к вычислению линейной комбинации значений подынтегральной функции.
В некоторых методах в эту линейную комбинацию включаются еще и значения производных подынтегральной функции во всех или некоторых из рассматриваемых точек.
Очень важные результаты были получены С.Л.Соболевым в вопросе о построение кубатурных формул, оптимальных на тех или иных классах функций. В работе С.Л.Соболев [69] исследование кубатурных формул ведется на основе современных функционально-аналитических методов. Основным результатом С.Л. Соболева по теории кубатурных формул является доказательство асимптотической оптимальности кубатурных формул с регулярным пограничным слоем на решетке в пространстве 1%.
Исследования С.Л. Соболева по асимптотически оптимальным формулам были продолжены его учениками в пространствах Lmp, W, и В.И.
Половинкиным, Ц.Б. Шойнжуровым, М.Д. Рамазановым и другими.
Применение теоретико-числовых методов началось с работы Н.М. Коробова [26]. Он ввел в рассмотрение классы функций Е°(С) и #„а(С). Экстремальная задача в Я“(С) решается с помощью варьирования узлов и
показывается, что параллелепипедальные сетки обеспечивают наилучший порядок сходимости. Свое дальнейшее развитие это направление получило в работах Н.С. Бахвалова [1], H.H. Ченцова [79], Н.М. Коробова [26] и других.
С современным состоянием этого направления можно ознакомиться в книге Н.М. Коробова [26].

В работах И.ГТ. Мысовских [36], В.И. Лебедева [32], Г.Н. Салихова [65], М.В. Носкова [41], H.H. Осипова [45] и других изучаются формулы высокой степени точности на алгебраических и тригонометрических многочленах с малым числом узлов.
В указанных работах варьируются одновременно узлы и коэффициенты кубатурных формул.
Большое число результатов получено в вопросе построения кубатурных формул интерполяционного типа, имеющих тот или иной алгебраический порядок точности. Результаты этого типа изложены в работе И.П. Мысовских
При построении кубатурных формул интерполяционного типа одним из основных вопросов является вопрос о выборе узлов и того пространства алгебраических многочленов, на котором формула должна быть точна. Вопрос о выборе пространства тесно связана с дифференциальными свойствами класса, для которого строится формула.
Отметим, что кубатурные формулы отличаются от одномерных двумя особенностями:
• бесконечным многообразием многомерных областей интегрирования;
• быстрым ростом числа узлов формулы с увеличением размерности пространства.
При больших численных расчетах появляется необходимость оптимизировать процесс приближенного вычисления интеграла. В силу этого большое значение имеет построение асимптотически оптимальных кубатурных формул в различных функциональных пространствах.
Рассмотрим следующий кратный интеграл
[36].
(1)
где £а{х)~ характеристическая функция области Q, (р(х)е W"Еп), рт>п.

Результаты вычисления интеграла
| + еХг )рЬсхйЫ2
о о
Таблица
П1 Ь результат погрешность
2 0.01 3.43656396630 0.00000030936
2 0.001 3.43656365630 -0.00000000067
2 0,0001 3.43656365160 -0.00000000529
3 0,01 3.43656365780 0.00000000088
3 0,001 3.43656365590 -0.00000000103
3 0,0001 3.43656365130 -0.000000000567
4 0,01 3.43656365690 -0.00000000002
4 0,001 3.43656365570 -0.00000000123
4 0,0001 3.43656365150 -0.00000000541
5 0,01 3.43656365700 0.00000000004
5 0,001 3.43656365580 -0.00000000115
5 0,0001 3.43656365120 -0.00000000570
10 0,01 3.43656365700 0.00000000008
10 0,001 3.43656365590 -0.00000000106
10 0,0001 3.43656365260 -0.00000000427
'очный результат - 2(е -1).
Результаты вычисления интеграла

[(р(х)с1х

Таблица
(р{х) 160 л: „БШЛ
аналитически — * 0.0062111801242236024815 161 -
метод Симпсона 0,0062111801264566040428 1,6318696084180513458
по формуле 0,0062111801242236032809 1,6318696084180513475