Разложения типа Брюа

• Автор: Митрофанов, Михаил Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 130 с.

1 Предварительные сведения

1.1 Теория матроидов

1.2 Клетки Брюа

2 Биматроиды

2.1 Определение и основные свойства

2.2 Биматроиды и мелкие клетки

2.3 Удвоение биматроида

3 Конструкции биматроидов

3.1 Вложение матроида в биматроид

3.2 Флаговый матроид — предварительные замечания

3.3 Флаговый матроид — вложение в биматроид

4 Критерии представимости
4.1 Предварительные рассуждения
4.2 Миноры и(п, ш)
4.3 Миноры Б7 и Бу
А Один важный биматроид
Литература

Одним из наиболее существенных фактов классической структурной теории алгебраических групп является разложение Брюа, открытое Гель-фандом, Наймарком и Хариш-Чандрой и доказанное в общем случае Ше-валле и Титсом (см., например, [3, 15]). В последние годы появилось значительное количество работ, посвящённых, в той или иной мере, изучению связи между различными разложениями вида б = В\¥В2 в одной группе £?, где В и В2 — борелевские подгруппы (3, содержащие некоторый фиксированный максимальный тор Т. Рассмотрение разложений такого вида, с меняющимися В и В2, оказывается полезным в разных областях математики, включая теорию представлений, геометрию, комбинаторику, а также, разумеется, саму структурную теорию.
Первые исследования в этой области были предприняты Люстигом и Деодхаром (см. [9, 14]), которые изучали пересечения клеток Брюа вида В~и)В П Ви^В, где В~ — борелевская подгруппа, противоположная В. В частности, в работе [9] был получен следующий результат: пересечение указанного вида непусто в том и только в том случае, когда ^ гщ в порядке Брюа. Тем самым, уже в этом весьма частном случае была установлена важность порядка Брюа в данной области.
В дальнейшем Ч. Кертис (см. [8]) обобщил этот результат, получив точный критерий непустоты пересечения клеток вида В'иихВпВгизВ. Этот критерий, фактически, оказался эквивалентным некоторому частному слу-

чаю условий предложения 1.23 ниже. В связи с этим М. Путча, H.A. Вавилов и автор независимо сформулировали гипотезу, согласно которой условия предложения 1.23 являются как необходимыми, так и достаточными для того, чтобы пересечение клеток вида B'wb'B, где В' пробегает все борелевские подгруппы, содержащие фиксированный максимальный тор, было непусто (см. [18]). Как будет видно из дальнейшего, эти условия на самом деле не являются достаточными.
Следует также упомянуть работу С. Фомина и А. Зелевинского [10], изучавших пересечения вида B~wB~ П Bw^B. В частности, в этой работе было показано, что такое пересечение всегда непусто.
Вопрос о непустоте пересечения двух клеток Брюа был полностью рассмотрен в работе H.A. Вавилова и автора ([1]), получивших комбинаторный критерий, являющийся частным случаем приведённых ниже условий предложения 1.25. Этот результат побудил автора высказать гипотезу, аналогичную вышеприведённой, о достаточности условий предложения 1.25 в общем случае. Природа, однако, устроена, в Данном случае, несколько сложнее наших представлений о ней. По-видимому, получить комбинаторный критерий непустоты подобных пересечений хотя бы над каким-нибудь бесконечным полем невозможно.
Перелом наступил в последнем десятилетии двадцатого века, когда А. Боровик опубликовал серию статей, с различными соавторами, связывающую пересечения «односторонних» клеток Брюа (т.е., клеток вида B'wB при фиксированном В) в группе GLn(fc) с теорией матроидов (см. [6, 7]). В частности, непустота пересечения таких клеток оказалась эквивалентной существованию согласованных представлений некоторой последова-

Применив лемму 2.11 к множествам I, [т+1, п] и [1, п], получаем, что существует базис С матроидаХГт+1 п], такой, что #(СП[1,/—1]) ^ #(/П[1,га]). Далее, по определению V, множество Л)ч(т) = у[1, т] является наибольшим базисом Х(-+1 „], откуда, используя (2.2), получаем, что
#((7 и у(ш)) П [1, / — 1]) ^ #(С П [1,1 - 1])
#(/ П [1, т}) = #(/ П [1, т - 1]) = #(7 П [1, / - 1]).
Отсюда у(гп) ^ [1,1 — 1] и у(т)
Наконец, утверждения 2 и 3 вместе означают, что у(и(1)) = V(т) = I, что завершает доказательство. □
Теорема 2.13. Для произвольных гщ, ш2 из группы IV обозначим элемент и(шХш2) через /х-(гні, гаг). Тогда/х — единственная формальная мелкая клетка, такая, что при любыхш,ш2 Є И7 н / Є X = [1,п], /хС^ьЩгЯМ] — наибольшее множество, образ которого под действием перестановки ш^1 является базисом Х^1+Хпу
Доказательство. Зафиксируем элементы и>і,ш2 Є И7. Обозначим бимат-роид шХш2 через У; тогда, согласно предложению 2.5 и следствию 2.6, множество I С [1, гг] является базисом в том и только в том случае,
когда ш~[11 является базисом Х^2^ = ХШ2[/+х)П]. По определению и(У), множество и(У)[1,/] является максимальным среди таких I.
Далее, пусть ф : IV XXV —> ¥ — функция, удовлетворяющая условию теоремы, то есть, такая, что ф(ші,ш2)[1,1] — наибольшее множество, образ которого под действием перестановки гщ"1 является базисом Х^1+1 пу Так как любое частично упорядоченное множество имеет не более одного наибольшего элемента, /(ші,ги2)[1,1] = /х(іщ, го2)[М]- Пусть ш и ш2 — про-