О нильпотентной аппроксимируемости обобщенных свободных произведений групп

• Автор: Иванова, Елена Александровна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Иваново
• Количество страниц: 92 с.

ГЛАВА I. Аппроксимируемость нильпотентны-ми группами обобщенного свободного произведения групп
§ 1. Предварительные замечания § 2. Необходимое условие нильпотентной аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух нильпотентных групп § 3. Нильпотентная аппроксимируемость обобщенного свободного произведения нильпотентных групп с конечным объединением §4. Нильпотентная аппроксимируемость обобщенного свободного произведения конечно порожденных абелевых групп § 5. Аппроксимируемость конечными р-группами обобщенного свободного произведения нильпотентных групп
ГЛАВА II. Аппроксимируемость относительно сопряженности обобщенного свободного произведения групп
§ 1. Предварительные замечания. Аппроксимируемость относительно сопряженности конечными р-группами конечно порожденных нильпотентных групп
§ 2. Сопряженная отделимость в классе конечных р-групп элементов бесконечного порядка § 3. Аппроксимируемость относительно сопряженности конечными р-группами обобщенного свободного произведения
Литература

Пусть /С — некоторый класс групп. Говорят, что группа <7 аппроксимируема группами из класса /С (или, короче, /С-аппроксимиру-ема), если для любого неединичного элемента д группы (7 существует гомоморфизм группы (7 на некоторую группу X из класса /С (или, короче, /С-группу), при котором образ элемента д отличен от единицы.
Изучение /С-аппроксимируемости и ряда других аппроксимаци-онных свойств группы является одним из заметных направлений современной комбинаторной теории групп. Наиболее изученным и хронологически первым здесь является свойство финитной аппроксимируемости, т. е. аппроксимируемости в классе Т всех конечных групп. В данной диссертационной работе применительно к конструкции обобщенного свободного произведения групп, т. е. свободного произведения групп с объединенными подгруппами, рассматривается свойство аппроксимируемости в классе N всех нильпотентных групп и в его подклассе Тр всех конечных р-групп.
Первым результатом об .^-аппроксимируемости групп является, по-видимому, известная теорема Магнуса [23], согласно которой произвольная свободная группа является ЛЛаппроксимируемой. М-аппроксимируемость обычного свободного произведения групп изучалась А. И. Мальцевым в работе [9], где были получены необходимые, а также достаточные условия для того, чтобы свободное произведение .^-аппроксимируемых групп являлось ЛЛ-аппроксимируемой группой. Доказано при этом, что найденные необходимые условия оказываются и достаточными, если все свободные множители являются нильпотентными группами; соответствующий критерий при дополнительном предположении о конечной порожденности перемножаемых групп допускает следующую равносильную формулировку:
Свободное произведение Н * К неединичных конечно порожденных нильпотентных групп Н и К является N-аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда для некоторого простого числа р периодические части групп Н и К являются р-группами.

В работах, посвященных аппроксимационным свойствам обобщенных свободных произведений и других свободных конструкций групп (таких, как древесное произведение, //Ж/У-расширение), а также групп, строение которых описывается с помощью свободных конструкций (например, групп с одним определяющим соотношением), в качестве аппроксимационного класса рассматривался, в основном, класс всех конечных групп. Достаточные условия Л/"-аппроксимиру-емости свободного произведения двух свободных групп с объединенными циклическими подгруппами получены в работах Г. Баумслага [14] и Д. Н. Азарова [1]. В работе Д. Варсоса [29] рассматривалась ЛЛ-аппроксимируемость фундаментальной группы графа групп. Критерий Л/"-аппроксимируемости ЯЖЖрасширения конечной группы получен в статье Е. Раптиса и Д. Варсоса [26]. Характеризация ЛЛ-аппроксимируемых групп с одним определяющим соотношением, обладающих нетривиальным центром, дана в работе Маккарона [24]. В большинстве же работ по данной тематике речь идет об аппроксимируемости в классе конечных р-групп, и здесь центральным результатом, несомненно, является теорема Г. Хигмана [20], содержащая критерий Д^-аппроксимируемости обобщенного свободного произведения двух конечных р-групп.
Переходя к изложению основных результатов данной работы, приведем, прежде всего, необходимое условие Л/’-аппроксимируемос-ти обобщенного свободного произведения двух нильпотентных групп:
Теорема 1. Пусть Н и К — произвольные нильпотентные группы с подгруппами А^НиВ^Ки пусть <р : А -» В — изоморфизм группы А на группу В. Предположим также, что А ф Н и В ф К. Если свободное произведение
в= (Н* К- А = В, ф)
групп Н и К с подгруппами А и В, объединенными в соответствии с изоморфизмом <р, является N-аппроксимируемой группой, то существует простое число р такое, что подгруппы А и В р'-изолированы в группах Н и К соответственно.

При этом, как отмечено выше, число р является делителем порядков групп Н и К, и так как (?р ~ С(р), небходимость условий теоремы 2 доказана.
Обратно, если для некоторого простого делителя р порядков групп Н и К подгруппы А и В р'-изолированы и подгруппа С?(р) группы <7 является ^-аппроксимируемой группой, то ввиду сделанных только что замечаний выполнены условия соответствующей части теоремы 4, откуда и следует ЛЛаппроксимируемость группы (7. Теорема 2 доказана.