Нетривиальные псевдохарактеры на группах

• Автор: Каган, Дмитрий Зиновьевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 127 с. : ил.

Понятие квазихарактера и псевдохарактера на группах

Краткий обзор рассматриваемых вопросов и полученных результатов

Глава 1. Псевдохарактеры на свободных произведениях и НК1Ч-расширениях групп

1.1 Некоторые общие утверждения о нетривиальных псевдохарактерах

1.2 Нетривиальные псевдохарактеры на свободных произведениях с объединенной подгруппой

1.3 Нетривиальные псевдохарактеры на НШ-расширениях групп

Глава 2. Псевдохарактеры на аномальных произведениях

групп

2.1 Аномальные произведения и их свойства

2.2 Нетривиальные псевдохарактеры на аномальных произведениях с бесконечной циклической группой
2.3 Нетривиальные псевдохарактеры на аномальных произведениях локально индикабельных групп
Глава 3. Псевдохарактеры на группах с одним определяющим соотношением и двумя образующими
3.1 Преобразования группы с одним определяющим соотношением
3.2 Эндоморфизмы свободной группы и связанные с ними понятия
3.3 Функции на свободной группе, инвариантные относительно эндоморфизмов
3.4 Псевдохарактеры и квазихарактеры на свободной группе, инвариантные относительно эндоморфизмов
3.5 Частные случаи псевдохарактеров свободных групп, инвариантных относительно некоторых эндоморфизмов
3.6 Нетривиальные псевдохарактеры на группах с одним определяющим соотношением и нетривиальным центром
Список цитированной литературы
Публикации автора по теме диссертации

Понятие квазихарактера и псевдохарактера на группах.
В диссертационной работе рассматриваются вопросы о существовании нетривиальных псевдохарактеров на группах с одним определяющим соотношением, на некоторых свободных конструкциях групп и на аномальных произведених различных групп, в том числе на аномальпых произведениях с бесконечной циклической группой и аномальных произведениях локально индикабельных групп, а также о существовании нетривиальных псевдохарактеров свободной группы, инвариантных относительно определенных ее эндоморфизмов.
Нетривиальные псевдохарактеры связаны со многими важными характеристиками групп, например, с вторыми группами когомологий, устойчивостью решений функциональных уравнений и неравенств на группах, шириной вербальных подгрупп.
Термины "псевдохарактер, "а также "квазихарактер"были введены А. И. Штерном на Ломоносовских чтениях в МГУ в 1983 году. Вещественным квазихарактером, или просто квазихарактером, пазывается отображение группы О в пространство действительных чисел Я, удовлетворяющее следующему неравенству /(ху)-/(х) —/(у) | < е для любых элементов X, у группы б и некоторого е > 0. Псевдохарактером па группе (2 называется квазихарактер /, для которого выполняется /(хп) = п/(х) для любого элемента х € С и любого целого п. Нетривиальным пазывается псевдохарактер /, отличный от аддитивного характера, т.е. для него существуют такие элементы а,Ь 6 (3, что /(аЬ) ф /(а) + /(&). Под аддитивным характером понимается такое отображение из группы (?, для которого выполняется /(аЬ) = /(а) + /(6) при любых а, Ь е <2.
Можно задавать квазихарактеры и псевдохарактеры, как отображение в произвольное банахово пространство, а не только в пространство действительных чисел. Квазихарактером из группы (2 в произвольное банахово пространство Е называется отображение / из (2 в Е, удовлетворяющее следующему свойству: \/{ху) — /(ж) — /(у)|| < е для любой пары элементов х, у группы (2 и для некоторого положительного числа е. Псевдохарактером из группы б в произвольное банахово пространство Е называется такой квазихарактер / для которого выполняется

/(хп) == п/(х) при любом элементе х группы С и для любого целого числа п. Определение нетривиального псевдохарактера, а также аддитивного характера в произвольное банахово пространство также аналогичны соответствующим определениям в вещественном случае. Таким образом, нетривиальные псевдохарактеры группы являются "почти" представлениями, на циклических подгруппах они являются представлениями, но при этом они все-таки не являются представлениями в полном смысле.
Если в качестве банахова пространства рассматривается пространство действительных чисел й, то получаются те вещественные квазихарактеры и псевдохарактеры, которые были определены выше. Как правило, вещественные квазихарактеры и псевдохарактеры называются просто квазихарактерами и псевдохарактерами. В диссертации показано, что если на некоторой группе существует нетривиальный вещественный псевдохарактер, то на этой группе существуют нетривиальные псевдохарактеры в любое банахово пространство. Таким образом, вопрос о существовании нетривиальных псевдохарактеров на группе в произвольные банаховы пространства эквивалентен вопросу о существовании нетривиальных вещественных псевдохарактеров. Поэтому, в дальнейшем, в работе будет идти речь о вещественных квазихарактерах и псевдохарактерах. Вместо терминов: квазихарактер и псевдохарактер в некоторых работах употребляются термины: квазигомоморфизм и псевдогомоморфизм. Псевдохарактеры и квазихарактеры рассматриваются в работах В. А. Файзиева[11-17], Р. И. Григорчука[7, 8], А. И. Штерна[18], В. Г. Бардакова[9,10].
Понятие псевдохарактера возникло, как алгебраическое обоснование вопросов о функциональных уравнениях и неравенствах. Такое алгебраическое понятие, как псевдохарактер позволяет
объяснить природу более широких вопросов, выходящих за рамки чисто алгебраических. Например, вопрос о том, при каких условиях решения неравенства \/{ху) - /(х) - /(у)|| < е при некотором положительном е близки к решениям уравнения /(ху) — /(;х) — /(у) = 0 ставился во многих работах. В связи с результатами Д. Хайереа [1], С. Уламом [2] в списке нерешенных задач был поставлен вопрос о том, при каких

Глава 2. Нетривиальные псевдохарактеры на аномальных произведениях групп.
2.1 Аномальные произведения и их свойства.
В этом разделе мы будем рассмотривать вопрос о существовании нетривиальных псевдохарактеров на аномальных произведениях неединичных групп. Мы будем рассматривать аномальные произведения группы, удовлетворяющей теореме о свободе и бесконечной циклической группы. Доказывается некоторое обобщение теоремы Григорчука о существовании нетривиального псевдохарактера на группах с одним определяющим соотношением и по крайней мере с тремя образующими. Доказывается утверждение о существовании нетривиальных псевдохарактеров на аномальных произведениях локально ипдикабельных групп при некоторых условиях. Как следствия этих результатов получаются утверждения, касающиеся вторых групп ограниченных когомологий таких типов групп, а также их неаменабельности. Также рассматриваются группы с одним определяющим соотношением и двумя образующими, которые можно свести к соответствующим аномальным произведениям.
Под группой, для которой выполнена теорема о свободе, подразумевается группа, удовлетворяющая следующему свойству. Пусть С = В * В * ... * В/ « т » — свободное произведение нескольких изоморфных копий группы В, на которое наложено одно дополнительное соотношение го, которое мы считаем циклически песократимым; тогда для группы В выполняется теорема о свободе, если подгруппа группы С, порожденная всеми копиями В, за исключением одной, элементы из которой входят в дополнительное соотношение го, является свободным произведением этих копий. Известно, что теорема о свободе выполнена для свободных групп (теорема Магнуса [21],[22],[31]) и для локально ипдикабельных групп (теорема Бродского [19]). Известна также гипотеза Левина о том, что теорема о свободе выполнена для любой группы без кручения. Выполнение теоремы о свободе используется при рассмотрении аномальных произведений. Например, если на свободное произведение двух групп, для которых выполняется теорема о свободе, А и В наложено одно соотношение, которое считается циклически несократимым, и это соотношение содержит в своей записи элементы обеих групп, то сами