Достижимость минимального показателя роста групп с периодическими соотношениями

• Автор: Таламбуца, Алексей Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 59 с.

Оглавление
Введение
1 Группы с одним определяющим соотношением
1.1 Свободные произведения циклической и свободной группы
1.2 Некоторые фуксовы группы и их расширения
2 Группы с двумя определяющими соотношениями
2.1 Свободные произведения Ъ-р * Zg при простых р и q
2.2 Свободные произведения циклических групп вида 2,% * Ър>
Литература

Введение
В работе исследуются функции роста бесконечных групп, их асимптотическое поведение, а также зависимость такого поведения от выбора системы порождающих группы. Приведём определение функции роста для групп, порождённых конечным числом элементов.
Длиной элемента х группы G относительно данной системы её порождающих S = {ai,..., аД называется минимальное число N, при котором в G выполнено равенство х — дг ... деД, где gi € S, € {—1,1}. Длину элемента х относительно данной системы порождающих S мы обозначаем через ^5(ж). Если е — единица группы G, то is(e) = 0.
Функцией роста Fç s(n) группы G относительно множества S называется количество различных элементов х G G, для которых £s(x) ^ п-
Говорят, что группа G имеет полиномиальный рост относительно данной системы порождающих S, если можно указать такой многочлен Ps(n), что при любом п Д 0 выполняется неравенство ДуДя) ^ Ps(n)-Если для некоторой конечной системы порождающих S существует такой многочлен Ps(n), то аналогичный многочлен существует для любой конечной системы порождающих S' группы G, причем минимальная степень возможных многочленов для любых двух систем порождающих S и S' будет одна и та же. Таким образом, свойство группы G иметь полиномиальный рост так же, как и минимальная степень искомого полинома, не зависят от выбора системы, хотя сам многочлен Рд(п) может зависеть от выбора системы порождающих S. Однозначно определённая минимальная степень искомого многочлена для данной группы G называется степенью полиномиального роста этой группы.
Говорят, что группа G имеет экспоненциальный рост относительно

данного множества порождающих 5, если существует такое действительное число сз > 1 и натуральное число N3, что для всех п > N3 выполнено неравенство
Ра,з{п) ^ Сд.
Для данной системы порождающих Э существует максимально возможное из таких чисел С£, и оно совпадает с пределом
Нт (^е 5(п))1/п. (1)

Этот предел называется показателем экспоненциального роста группы (? относительно множества порождающих 5 и обозначается через А (17, 5). Существование предела (1) следует из того, что для функции роста при любых целых т, п ^ 0 выполнено неравенство Дз,6’(т + п) ^ Д?,5(гн) • Рагз(п). Значение показателя роста Х(С, 5) может зависеть от выбора множества порождающих 3. Точная нижняя грань множества показателей роста данной группы (3 относительно всех конечных множеств её порождающих называется минимальным показателем роста данной группы С7 и обозначается А ((?).
В 1981 году М.Громов в книге [18] поставил вопрос о существовании конечнопорождённой группы С? экспоненциального роста, для которой точная нижняя грань всех показателей экспоненциального роста равна 1. Очевидно, в этом случае 1 не может быть показателем экспоненциального роста группы С? ни при каком выборе конечного множества порождающих.
Группа, в которой минимальный показатель роста не реализуется ни на какой конечной системе порождающих, называется группой с недостижимым минимальным показателем роста. Если же минимальный показатель роста реализуется для некоторой системы порождающих, то говорят, что группа обладает достижимым минимальным показателем роста.
В той же работе Громов обратил внимание на то, что свободная группа данного ранга к имеет минимальный показатель экспоненциального роста 2к — 1, и этот показатель роста достигается на любой системе
этом подгруппа К порождена парой элементов а и у — (-и~1и)а(гГ'1ъ>). Доказав, что элемент у лежит в подгруппе К, мы сразу получим, что элемент х лежит в подгруппе Н.
Сопрягающий элемент и выберем таким, чтобы его нормальная форма и начиналась и заканчивалась на степень буквы Ь. Это можно сделать, т.к. домножая и слева и справа на а, мы не меняем подгруппу II = Эрс({а,иаи~1}). Очевидно, относительно порождающих а и I — иаи-1 подгруппа Я тоже имеет задание II — (а, й | а? = 1,6? = 1).
Пусть I — произвольный элемент подгруппы Я. Запишем его в виде нормальной формы относительно порождающих с, I, т.е. как слово вида с11^1... с1к<Рк, при этом будем считать, что |Д|, |у.,| < р при в = 1,... ,к, а также г5+1,Д ф 0 при з = 1,..., к — 1.
Тогда в порождающих а, Ь элемент /. может быть переписан как
£ = иа^и-'-а?1... иа^и^а*, (2.2)
при этом на показатели г5,у5 сохранены те же условия, что и выше. Если г’х = 0, то будем считать, что в записи (2.2) отсутствует 11ачи~1, а если Д = 0, то отсутствует а?к. Так как Я начинается и заканчивается на степень элемента Ь, то запись (2.2) представляет собой нормальную форму элемента £ в группе (? относительно порождающих {а, Ъ}.
Приступим теперь к анализу слова хг. Без ограничения общности можно считать, что г > 0, так как из хг е Я, очевидно, следует х~г € Н.
Докажем лемму вначале для всех таких х <Е О, нормальная форма которых начинается степенью буквы Ь и заканчивается степенью буквы а, то есть имеет вид
X = ЬпчаП1 ... 6т£а”Д где 0 < ггц < д, 0 < щ < р. (2.3)
Ясно, что тогда нормальная форма У/ слова хг есть последовательная запись г копий слова х. Так как элемент хг есть элемент группы Н, то слово У также представляется как слово вида (2.2), которое тоже представляет нормальную форму элемента хт. Так как х начинается с буквы 6, то в разложении вида (2.2) слово 1У начинается с некоторого нодслова иачи~], а не со степени Ф1.