Локально наиболее мощные критерии проверки гипотез о параметрах случайных процессов с дискретным временем

• Автор: Новиков, Петр Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Казань
• Количество страниц: 104 с.

Оглавление
Введение

1 Локально наиболее мощный последовательный критерий

1.1 Постановка задачи

1.2 Сведение к задаче оптимальной остановки

1.3 Структура оптимальных последовательных критериев. Усеченные правила остановки

1.4 Структура оптимальных последовательных критериев. Общий случай

1.5 Основной результат

1.6 Примеры: марковские процессы с дискретным временем и

процесс авторегрессии А11(1)

2 Локально наиболее мощный последовательный критерий для

независимых наблюдений
2.1 Постановка задачи
2.2 Дифференцируемость функции мощности и информационные
неравенства для характеристик критериев
2.3 Структура оптимальных последовательных критериев. Усеченные правила остановки
2.4 Структура оптимальных последовательных критериев. Общий случай
2.5 Основной результат

2.6 Примеры: случаи «периодических» и «конечно-нестационарных» наблюдений
3 Обобщение локально наиболее мощного критерия на случай многомерного параметра
3.1 Постановка задачи
3.2 Критерий, локально наиболее мощный в направлении
3.3 Критерий, локально максиминный по направлениям
3.4 Локально максиминный по направлениям критерий для нормального распределения
3.5 Асимптотический локально максиминный по направлениям
критерий для ЛАН семейств
Литература

Введение
Последовательный анализ является основным методом сокращения объема наблюдений при проведении статистического эксперимента. В рамках различения двух гипотез проблема оптимизации объема наблюдений обычно ставится следующим образом. Проверяемые гипотезы разделяются областью безразличия, и рассматривается класс последовательных критериев, гарантирующий заданные ограничения на вероятности ошибок I и II рода. В этом классе ищется критерий, минимизирующий среднее значение объема наблюдений при ряде фиксированных значений тестируемого параметра или минимизирующий наибольшее значение среднего объема наблюдений по всему параметрическому пространству (проблема Кифера-Вейса).
С точки зрения практики существующие последовательные гарантийные критерии обладают двумя недостатками: среднее значение объема выборки при значении параметра в области безразличия может принимать бесконечное значение, выбор области безразличия всегда составляет тяжелую проблему в практических применениях. Естественно было бы убрать область безразличия и ограничить сверху среднее число наблюдений. В связи с этим в диссертации рассматривается следующая постановка проблемы последовательной проверки гипотез. Рассматривается простая нулевая гипотеза в = $о ПРИ сложной альтернативе, не обязательно отграниченной от 00, а также класс последовательных критериев заданного уровня а, средний объем наблюдений которых ограничен сверху заданным числом . В этом классе ищется локально наиболее мощный критерий - критерий, максимизирующий производную функции мощности в точке во. Естественно, при наличии некоторого монотонного относительно некоторой статистики

для любого ті = 1, 2,.... Полагая
LW = inf Ь(ф'),
по лемме 1.5 получаем, что во всех неравенствах в (1.27) достигаются равенства. В частности, равенство достигается в (1.26) для любого тг = 1,2,
Так как по условиям теоремы Rq > —оо, интегралы в обеих частях (1.26) конечны. Из леммы 1.2 получаем, что (1-24) выполняется /^"-почти наверное
на , для любого п= 1,2,
Теперь условие (1.25) следует из равенств
QnW = Ш) + J 4(уп - ln)dßn = c + R0 (1.28)
для любого 71 = 1,2,..., и
lim Ьп(ф) = Ь(ф) = с + Rq
71—► ОО
по условию теоремы.
Теорема доказана в части необходимости.
Пусть теперь ф удовлетворяют (1-24) д"-почти наверное на Т% для любого п = 1,2,... и пусть условие (1.25) выполняется для этого ф.
Из леммы 1.2 следует, что
QnW = Qn-ііФ) = • ■ ■ = Qi(V0 = С + До для любого та = 1,2,.... Из равенств (1.28) и (1.25) следует, что
lim Ьп(ф) = с + Rü.

Но ф Є , поэтому
lim Ьп{ф) = Ь(ф),

и таким образом
L^)=c + Rо= inf LN/).
Теорема доказана. □