Некоторые обыкновенные линейные дифференциальные уравнения с сингулярными точками

• Автор: Хидиров, Худойкул Сатторович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Куляб
• Количество страниц: 108 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение
Глава
Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с одной сингулярной точкой
§1 Линейные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с одной сингулярной точкой, когда
характеристическое уравнение имеет к кратных и п к различных корней
§2 Линейные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с одной сингулярной точкой, когда
характеристическое уравнение имеет кратные корни § 3 Линейные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с одной сингулярной точкой, когда
характеристическое уравнение имеет различные действительные корни и два комплексных
Глава
Линейное дифференциальное уравнение высшего порядка с одной сингулярной точкой
§ 1 Уравнение типа Эйлера с одной сингулярной точкой
§2 Неоднородное линейное уравнение высшего порядка с
одной сингулярной точкой §3 Неоднородное линейное уравнение типа Эйлера с одной
сингулярной точкой, когда характеристическое уравнение имеет различных и (п-к) кратных корней § 4 Неоднородные линейные уравнения высшего порядка типа
Эйлера, когда характеристическое уравнение имеет кратные корни.
Глава
Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с двумя сингулярными точками
§1 Линейные системы обыкновенных дифференциальных 51-58 уравнений с двумя сингулярными точками, когда характеристическое уравнение имеет различные корни

(вещественные и комплексные)
§ 2 Линейные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с двумя сингулярными точками, когда
характеристическое уравнение имеет два различных и остальные кратные корни
§ 3 Линейные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с двумя сингулярными точками, когда
характеристическое уравнение имеет два кратных корня и остальные различные
§ 4 Линейные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с двумя сингулярными точками, когда
характеристическое уравнение имеет к кратные и (п-к) различных корней
§5 Линейные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с двумя сингуляными точками, когда
характеристическое уравнение имеет только кратные корни
Глава
Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений с тремя сингулярными точками
§ 1 Линейные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с тремя сингулярными точками , когда характеристическое уравнение имеет различные корни (вещественные и комплексные)
§ 2 Линейные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с тремя сингулярными точками, когда характеристическое уравнение имеет к кратные и (и - к) различных корней
§ 3 Линейные системы обыкновенных дифференциальных
уравнений с тремя сингуляными точками,когда характеристическое уравнение имеет только
кратные корни
Литература

ВВЕДЕНИЕ
После работы М.В.Кельдыша [17] , а также работ М.М.Смирнова [18] и А.В.Бизацзе [20] и др. теория вырождающихся дифференциальных уравнений (сингулярных) приобрела значительную известьность. В монографии Л.Г. Михайлова [6], изданной в Академии наук Таджикской ССР в 1963г., которая затем была переиздана в Голандии и в Германии были развернуты исследования уравнений

г2Л11 + г^Ьк(х)и'к +с(*)и = /(*),где х = (х,,...,х„), г2 >

а затем они были продолжены его учениками А.И.Ачилдиевым [19],
Н.Раджабовым[8,43,44] и др. С другой стороны, еще с 19-го века приобрела

известность теория уравнений ху'к = (-Х)У, + Л(х),(к = 1,2,...,л,0<х < 1),

где ак (х) и / = 1,2,...,и) аналитические функции, (т.е. сходящие
степенные ряды), получивщая наименование теория Фукса. В монографии
Н.Раджабова [8] изучена система
фф(.г-Ьк)у) +]Га0(х)у^х) = ^(х),и = ,2,...,т,а<х<Ь),Ьк еа;Ь] при условиях
к= /=

а) аиФк) = Л ПРИ всех к = и условиях на знаки
Р) щЛу <0, у) -<0, где числа ак коэффициенты разложения функции
" 1 ” а
По-*.)' 1 на простые дроби, т.е. ----------------------= —-—, Лу -корни
П(*-**) ",х~Ьк

характеристического уравнения |Ак] - А/| = 0, заметим, что при п = 2 и Ьх-, Ь2=0 будет «,=1,а2=-1. В этом случае условия <0, и а2Яу <0, противоречат друг другу.
В работах Л.Г.Михайлова [1-3] были начаты исследования уравнений и систем вида ху' = /(х,у),(0<х < 1). В точке х = 0 происходит вырождение порядка уравнения до нулевого , а в силу того, что после деления на .г правая часть становится неинтегрируемой, точку х = 0 столь же естественно называть сингулярной.
Для таких уравнений и систем в [3] было установлено фундаментальное свойство вырождения: если Дх,у) непрерывна и существует непрерывное решение, то необходимо ДО, у 0 )=0, где у0 = у(0).
Ясно что если при х = 0 задавать начальное значение, отличающееся от найденного из уравнения Д0,уо) = 0, то задача Коши будет неразрешима, а если ДО,у0)* 0 при всех 0<у0<+со,то непрерывных решений не существует
вообще. Поскольку неинтегрируема при /(х, у) ^ о, то стандартный

Т А — (Яс*) , — с!с„
+ к2х 2 1—^ + --- + кпхк"
2 ск ск
= с, А, (А, -1) ■ • ■ (Аг, - и + 2)лг*|~'|+1 + с2к2 (к2-1)---(к2-п + 2)х*г~"+1 + • • • + спк„ (А„ -1) • •
• • • (А„ - и + 2)хк"-"+' + к, (А, -1) • • - (А, - п + 3)хк'~п+2 ^- + А2 (А2 -1) • • • (А2 - и + 3)хк2~"+2 ^ н
с!х скс

+ к„ (А„ — 1) • • • (А„ - п + 3)хк"~п+2 —

у(п) = е,А,(А1 -1)---(А, -и + 1х*‘ " + с2А2(А2 -1)■ • ■ (к2 -л + 1)х*2 " н (-спАп(А„ -1)-■■(к„ - и + 1)-
хк--п +к1(к1 -1)---(к1-п + 2)хк'-"+'^- + к2(к2 -1)---(*2-п + 2)хк'-"*' —+ --- + А„(А„ -1)--
(к ск
...<к„-п + 2)хк^'^-ах
если это значение подставить в уравнение (4) получим такие системы уравнений
*1 (*1 -!)-•-(Л, -п + 2)хк>~' ^- + к2(к2 -1)---(А2 -п + 2)хк1-1 + --- + А„(А„ -1)(А„- л + 2)^-=/(*) ск ск
А,(А, -1)---(А, -и + 3)дг*1-1 ^- + А2(А2 -1)■■■(А2 - и + 3)**2“1 + ■ ■ ■ + А„(А„ -1 )•••(£„ —и + 3)-
ск ск
■хк'~'^ = 0 с1х
А, (А, - 1)дг*‘ 1 +А2(А2 -1)х‘2~' + ■ • • + А„(А„ <~-
ах ах ах
, I ск. , к с1с2 , к (/с, , 1скс„
к.х ' '—- + к2хк2 ' —+ А,х 2 —- + --- + кх" —=- = 0 1 с!х 2 ск с!х ск
Для решений эти системы уравнений используем алгебраическое дополнение:
Г(*) =
(А, — п + 2)хк' 1 (к2 —п + 2)!лс*
(А, -и + 3)!х*н (к2 — и + 3)!лг*3"
А,**'-
к2хк2~'
(кп-п + 2)хк" ' (А„ -п + 3)хк"~х