Исследование по проблеме обобщенного и неполного разделения переменных в нелинейных задачах

• Автор: Жарова, Наталия Валентиновна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 96 с. : ил.

Оглавление.
Введение

Глава 1. Некоторые классы уравнений, допускающих обобщенное

разделение переменных

§1.1 Анализ методов, основанных на леммах Э.Р. Розендорна и

М.Х. Мартина

§1.2 Линейные уравнения с частными производными

§1.3 Уравнения с частными производными со степенными нелинейностями20 §1.4 Нелинейные уравнения более общего вида; достаточные условия

применимости основной леммы

§1.5 Некоторые классы уравнений, не имеющих решений в виде суммы

функций одного аргумента

§1.6 Некоторые классы уравнений, не имеющие решений в виде
произведения функций одного аргумента
§1.7 Системы трех функций и их подсистемы, не являющиеся базисными.39 §1.8 Выводы по главе
Глава 2. Разделение переменных в одном классе нелинейных систем и его
применение к задачам метеорологии
§2.1 Постановка вопроса
§2.2 Формулировка результата
§2.3 Замечания о тропических циклонах
§2.4 Применение результата
§2.5 Граничные условия
§2.6 Анализ результатов численного эксперимента
§2.7 Выводы по главе
Глава 3. Неполное разделение переменных
§3.1 Описание метода
§3.2 Решения в виде суммы функций с неполным разделением переменных82 §3.3 Решения в виде произведения функций с неполным разделением
переменных
§3.4 Выводы по главе
Заключение
Список литературы

Введение.
Математическое описание многих физических процессов приводит к уравнениям с частными производными, одним из основных методов поиска точных решений которых является метод Фурье разделения переменных, когда после подстановки специального вида решения и(х) + v(y) или u(x)v(y) получается уравнение, левая часть которого не зависит от х, а правая — от у. Будучи равными между собой, обе части уравнения не зависят ни от х, ни от у, и, следовательно, равны некоторой постоянной; поэтому мы приходим к дифференциальным уравнениям на функции одного переменного. Если же после подстановки специального вида решения правая часть равна 0, а левая часть является суммой произведений функций одного переменного, содержащей более двух слагаемых, то применение леммы Фурье невозможно. В этом случае мы будем говорить об обобщенном разделении переменных.
В диссертации использован метод обобщенного разделения переменных, основанный на лемме Э.Р. Розендорна [21], которая в дальнейшем будет часто упоминаться как "основная лемма".
Лемма [21]. Пусть а = {афац)
0!i(xi)/3i(x2) + + Q!n(xi)j3n(x2) — 0 на I] х /2, (0-1)
тогда, rank а + rank /3 < п.
Если при этом {ац

otp+k = 53 dkiCXh k = l,q, q = п — p,

то функции /Зі,.. ,j3p линейно выражаются через (Зр+і, , вп, а именно

А = 5 у dkj/dp+ki * 1) Р-

Иногда эту лемму нетрудно применять непосредственно; особенно когда речь идет о поиске решения специального вида.

Пример 0.1. Пусть а и b - постоянные, причем а. ф 0. Выясним при каких значениях b уравнение
d2z d2z
a?W= ах + Ъ11 (0'2>
имеет решения вида г — и(х) + v{y) и найдем эти решения.
Решение: подставим 2 = и(х) + v(y) в уравнение (0.2) и для того чтобы воспользоваться основной леммой, выпишем полученные системы функций.
u"(x)v"(y) — ах — by — 0 (0.3)
а — {и", ах, 1 }
P = {v",-1 ,-Ьу}
По условию а ф 0, следовательно, функции 1 и ах - линейно независимы,
и rank а > 2. Если Ъ ф 0,_то аналогично получаем, что rank/З > 2, и, сле-
довательно, rank <5 + rank/3 > 4, что противоречит основной лемме, которая утверждает, что rank а + rank/З < 3.
Таким образом, единственно возможный вариант: Ъ — 0. Тогда уравнение (0.3) принимает вид u"(x)v"(y) = ах и может быть решено методом Фурье разделения переменных.
т = - т?1 «/“"(*> =Л'!;' «
5%J = Л’ I *=
и(х) = |ж3 + Сх + Сз, v(u) = фу2 + С2у + С.[.
Ответ: z{x,у) = |.т3 + фу- + Сх + Су + С, А, С,Сг, С = const, А ф 0.
В других случаях при применении основной леммы требуется перебор возможных вариантов выбора базисных подсистем, трудоемкость которого зависит от числа слагаемых.
В работе [21] лемма применялась для нахождения некоторых классов частных решений уравнения Монжа-Ампера переменного типа
%хх%уу фху) Т а7Z = 0, (0.4)
где а - заданный постоянный ненулевой вектор, Vz — градиент искомого решения z = z(x,y). Решения искались в виде произведения функций одного переменного
z = X(x)Y(y). (0.5)
Здесь 1РВ задается формулой (1.20), где а € № — число аргументов, Тб IV — число слагаемых в (1.20), а для функций Д выполнено условие (А).
Это означает, что на функции рк, при г ф в дополнительных условий не накладывается, а для функций Д (к = 1,Т) Эп* е [ЛО} и непрерывные функции i — 1 ,Пк, 3 = 1,2, такие что выполнено разложение (1.22).
Далее будем пред полагать, что для одной из функций Д (пусть для определенности это будет функция /£) число пт — произвольно, а для остальных функций (Д, при /г ф Т) щ = 0, откуда, по утверждению 1.1, следует, что они имеют вид Д(у) — АкеВкУ: А/;, 1?/. е Ж. Тогда справедлива следующая Теорема 1.2. Пусть в (1.20) функции Д(у) = АкеВкУ при к ф Т, и
Ак,Ви € М, а, функция /т{у + Уг) = Е причем компо-

ненты. /4?’(у), -., ЬТ'уу), .7 = 1,2, — линейно независимы. Тогда, если Т < пт + 1, то уравнение (1-44) не имеет, решений вида
и(х{) + 'и(жг) при и'(х{] ф 0, гДжг) ф 0.
Доказательство теоремы 1.2. Так как уравнение (1.44) относится к классу уравнений I, то по теореме 1.1, после подстановки специального вида решения (1.14) оно сводится к виду (1.13) и, следовательно, допускает применения основной леммы.
Подставим л = и(хф + и(хо) в уравнение (1.44) и воспользуемся явным видом функций Д.
Е ... Гк-1(у'(х2))Акев)ев+

+ат(х1)ЬТ(х2)Фт{г4тхД)... Дг1 (Ф(ж2)) (Е Ь'1и(х1))Н’2)(у(х2))) = 0.

Выпишем систему а функций, зависящих только от жг
а = { аДэдД/ДД™))... ф1~2(и')Аи
Фт121(и')АТ-геВт-1и, ат(х1)/т(и№)... /Е2(и')/4°Д)Ы) ,«г(щ)/т(и(т)) фр2(и1)1г{фт'1](и). }
Покажем, что гапка > пт + 1- От противного.
Допустим, что последние п-т + 1 функций системы а линейно зависимы, тогда существуют числа Ао, , АПг, не все, одновременно равные нулю, такие что

)/г(и(т!) /Г2(»')Л?Д)(«)