Асимптотические разложения, ограниченность и устойчивость решений функционально-дифференциальных уравнений n-го порядка с неограниченными операторными коэффициентами в гильбертовом пространстве

• Автор: Айгубов, Сайдархан Занкуевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 85 с.

Некоторые сведения из теории функций и функционального

анализа

Краткое содержание.дцс.&г-фГО^и'Л

ГЛАВА 1. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ РЕШЕНИЙ

§ 1.1. Вспомогательные леммы

§ 1.2. Теорема об асимптотическом разложении

§ 1.3. Случай уравнения с линейным отклонением аргумента

ГЛАВА II. ОГРАНИЧЕННОСТЬ И УСТОЙЧИВОСТЬ РЕШЕНИЙ

УРАВНЕНИЯ С ЗАПАЗДЫВАЮЩИМ АРГУМЕНТОМ

§ 2.1. Вспомогательные леммы

§ 2.2. Ограниченность и устойчивость решений уравнения с постоянными запаздываниями аргумента и постоянными операторными
коэффициентами
§ 2.3. Ограниченность и устойчивость решений уравнения с переменным запаздываниями аргумента и переменными операторными
коэффициентами
§ 2.4. Примеры для иллюстрации абстрактной теории
ЛИТЕРАТУРА

Широкий спектр приложений, где используются дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, особенно дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом, описывающие процессы с последействием, способствует увеличению интереса к изучению абстрактных функционально - дифференциальных уравнений.
Число разнообразных прикладных задач, поставленных с учетом запаздывания, возрастает из года в год. Такие задачи возникают в -■ Нбб^СНОЙ механике, в физике, в биологии, экологии, в ряде экономических проблем и в других науках.
Наибольшее применение нашла эта теория в современной технике, где имеются колебательные процессы в системах с последействием и в системах с запаздывающими связями, в теории автоматического управления, в теории автоколебательных систем. Наличие запаздывания в авторегулируемой системе, например, может существенно сказаться на ходе процесса. Могут возникнуть самовозбуждающиеся колебания и даже не устойчивость системы.
Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом, которыми описываются процессы в реальных системах, вообще говоря, являются нелинейными. Однако при решение задач, особенно практических, их приближенно заменяют линейными. Поэтому основное внимание обращают на линейные уравнения с отклоняющимся аргументом.
Основы теории операторно-дифференциальных уравнений были заложены в конце 40-х, в начале 50-х годов в работах Э.Хилле и Р. Филипса [44], К.Иосиды [23], Т.Като [25]. Хилле и Иосида получили первые теоремы существования решений задачи Коши для уравнения х’=Ах с неограниченным операторам А в банаховом пространстве,
сформулированные в терминах теории полугрупп операторов. В работе Като

была получена теорема существования решения задачи Коши для уравнения х'- Ах с переменным неограниченным оператором А(().
В последующие годы эта теория превратилась в большую самостоятельную область исследования. Ей посвящены целый ряд монографий отечественных и зарубежных математиков, занимающихся данными вопросами. Назовём здесь работы Э.Пинни [39], Р. Беллман -а, К. Кука [17], Дж. Хейла [43], А.Д. Мышкиса [36] и Н.В. Азбелева [2], Р.Г.Алиева [11] и др.
Большой вклад в развитие этой теории внесли советские ученые. Систематическим изучением уравнений с отклоняющимся аргументом в нашей стране начал заниматься после 40-х годов А.Д. Мышкис [36,37], а с 50-х годов Л.Э.Эльсгольц [45], H.H. Красовский [30], С.Б.Норкин [38]. Ими изучались скалярные уравнения. Исследованию абстрактных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве посвящены работы М.Г.Крейна [21], С.Г.Крейна [31], Р.Г.Алиева [11].
Позже исследование в этом направлении продолжили такие математики, как В.Б. Колмановский [26], В.Г.Курбатов [32], Г.А.Каменский,
А.Л.Скубачевский [24] и т.д.
С 60-х годов теорию уравнений с отклоняющимся аргументом успешно начала развивать группа математиков под руководством
Н.В.Азбелева [2].
Одной из важных проблем при изучении дифференциальных уравнений и их приложений является проблема описания характера поведений решений при больших их значениях независимой переменной и по отношению к возмущениям начальных данных.
Устойчивость решений дифференциальных уравнений - понятие качественной теории, разрабатывающиеся особенно в связи с вопросами устойчивости в механике имеет важное значение для приложений в технике. Современную строгую теорию устойчивости равновесия и движения
1 У+1
•', = £ I
к~ О у
5Ау(/)£)*И( О
| У+1
«21
Л-0 у

И(4) (/-*«(0)

у +
1 у+1
Ж <2^ |
*=0 у
«(А)0-Лу(0)
* - ку (0
с/(;
Л = £ 7 (у-1)-2||4,(5ч.(0 )А*1|(/)|* л <
А:=0р
I Г „ *+! *2 4,2 |
к=0 [ у
и{к){1-ИкЛ 0)
*-мо
к (0-^1

у+1
+ 2Д;^) I
у-2 '
-М'> ,
[ Ца*+,«И/5
1-кц
| *лт 1 А
Л-1 | (г-1)-2||лу(^^«(о||г[[1-^.ЖО]2л<
А=0|/-2-А
У+1+Л*]
2С£ *г I
^=0 I у-2-Л,
ма)(/-А,)
/-А

у+1+Лы
V—2-Лу,
и(к)0-нк1.)
1-1н
2 Л Л У У
у+1+А0
||Л0,и(/-/г0,)||
у+|+Л„у
у-2-А(
'о/ I

1 II
У+1+А*у
+ Д,(*) |
у-2-Лоу
V—2—А,
'о
нО-Ау)

*-А0у
Л +

Учитывая полученные неравенства и произведя некоторые элементарные выкладки, имеем