Асимптотический и численный анализ периодических решений одного класса моделей с запаздыванием и диффузией

• Автор: Полстьянов, Артем Сергеевич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Ярославль
• Количество страниц: 139 с. : ил.

Оглавление
Введение
1. Релаксационные колебания в простейших моделях с запаздыванием
1.1. Уравнения с финитной нелинейностью. Постановка задачи
1.2. Релаксационные колебания в уравнениях с финитной нелинейностью хатчинсоновского типа
1.3. Релаксационные колебания в комплексных скалярных уравнениях с запаздыванием
2. Асимптотика периодических решений распределенного уравнения Хатчинсона с быстро осциллирующими коэффициентами и большим коэффициентом диффузии
2.1. Постановка задачи
2.2. Периодические решения автономных параболических уравнений с быстро
осциллирующими коэффициентами
2.2.1. Вводные замечания
2.2.2. Алгоритм построения асимптотики периодического решения
2.3. Обоснование результатов
2.4. Построение асимптотик решений дгя уравнения Хатчинсона с быстро осциллирующими коэффициентами
2.5. О периодических решениях уравнения Хатчинсона с «большой» диффузией
2.6. Уравнения с близкими к постоянным
коэффициентами
3. Пространственно-неоднородные периодические решения в распределенном уравнении Хатчинсона

3.1. Постановка задачи
3.2. Асимптотический анализ периодических решений краевой задачи (3.6),(3.7)
3.3. Результаты численного анализа
4. Пространственно-неоднородные периодические решения уравнения Хатчинсона с распределенным насыщением
4.1. Постановка задачи
4.2. Случай симметричной F(x)
4.3. Случай несимметричной F(x)
4.4. Результаты численного исследования
* 5. Применение клеточных автоматов и имитационного модели-
рования для решения распределенного уравнения Хатчинсона
5.1. Постановка задачи
5.2. Переход от уравнения Хатчинсона к клеточной сети
5.3. Программная реализация клеточного автомата на основе сети Хатчинсона
Заключение
Литература
А. Программный пакет Simager
А.1. Постановка задачи
A.2. Общее описание программного пакета и используемых в нем алгоритмов

Б. Результаты применения программного комплекса
Б.1. Построение изображений на плоскости
Б.2. Построение изображений на торе
B.З. Построение изображений на сфере
Б.4. Работа клеточного автомата в трехмерном пространстве

Введение
Одним из активно развивающихся направлений в теории динамических систем являются в настоящее время исследования качественного поведения нелинейных уравнений с распределенными параметрами. Эти исслсдо-
* вания стимулируются появлением большого числа прикладных задач, для
моделирования которых используют такие объекты, как дифференциальные уравнения с запаздыванием, уравнения в частных производных или уравнения с распределенными коэффициентами. Уравнения такого типа возникают, например, в нелинейной оптике и лазерной динамике (Gibbs Н.М., Hopf F.A., Kaplan D.L., Shoemaker R.L., Ikeda K. [1-3], Ахманов C.A., Воронцов M.A. [4,5], Григорьева E.B., Кащенко C.A. [6,7,9] ), электротехнике (Schwarz W., Moegel A., Kilias Т., Kutzer K. [8,10,11] ), радиофизике (Дмитриев A.C., Кислов В.Я. [12], Ланда П.С. [13]), медицине (Марчук Г.И. [14], Петров Р.В. [15]), математической экологии (Горяченко В.Д. [16], Колесов Ю.С. [17-19], Романовский Ю.М., Степанова Н.В., Чернавский Д.С. [20,21], Свирежев Ю.М. [22], Марри Дж. [23], Колмановский В.В. [24]), теории нейронных систем (Малинецкий Г.Г. [25-28], Майоров В.В., Мышкин И. Ю., Кащенко С. А. [29-31]), термодинамике (Kuramoto Y., Tsuzuki Т. [32], Нико-лие Г., Пригожин И. [33], Полак Л.С., Михайлов A.C. [34], Хакен Г.Г. [35]),
* при описании процесса резания металлов (Эльясберг М.Е. [36], Клушин
М.И. [37]) и др.
Изучению уравнений с запаздыванием посвящено значительное число публикаций как теоретического, так и прикладного характера. Для многих уравнений, содержащих запаздывание, хорошо зарекомендовали себя к лассические асимптотические методы, такие как методы усреднения Крылова-Боголюбова [38,39], методы пограничных функций в случае сингулярных возмущений (Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. [40-42], Ломов С.А. [43]). Тем не менее, развитие аналитических методов для систем с запаздыванием явно недостаточно. В силу принципиальной сложности систем с бесконечномерным фазовым пространством особую значимость как для общетеоретических вопросов, так и для решения конкретных прикладных задач приобрета-

Отметим, что при од > О (и достаточно больших Л) краевая задача (2.30), (2.31) имеет экспоненциально орбитально устойчивое периодическое решение
щ(г, х, А) = Vo + (—a0(2do) 1)1/2(oelT + ае гг) + 0(A *),
т — (<5о Т 0{ *))t.
Схема обоснования приведённых здесь результатов та же, что и в пунктах
Вернемся к уравнению Хатчинсона с диффузией (2.29). Опишем результаты применения полученных выше утверждений для данной краевой задачи.
Введём в рассмотрение обобщённое уравнение Хатчинсона
Это уравнение возникает в результате усреднения в (2.29) по пространственной переменной. В предположении, что г, ft = const и существует экспоненциально орбитально устойчивое периодическое решение (2.34) в [86] показано, что краевая задача (2.29) имеет при достаточно больших D периодическое решенеие той же устойчивости. Это решение слабо зависит от х и стремится при D -> оо к соответствующему периодическому решению (2.34). Отмстим, что этот же результат верен и без предположения о постоянстве функций Г и ft.
Рассмотрим критический случай. Будем предполагать, что характеристический квазиполином линеаризованного на положительном состоянии равновесия уравнения (2.34) имеет пару чисто мнимых корней ±ги>о(о > 0), а все остальные его корни лежат строго слева от мнимой оси. В терминах (2.29) это означает, что спектр линеаризованной на положительном состоянии равновесия K(x,D) краевой задачи имеет ровно два собственных значения, близких при D —> оо к ±iwo, а все остальные собственные значения отделены и лежат слева от мнимой оси. Оказывается, при D —оо, в зависимости от выбора коэффициентов (2.29) могут иметь место все эффекты, возникающие в теории бифуркаций из состояния равновесия в случае, близком к критическому, пары чисто мнимых корней. Опишем для примера ситуации, возникающие при h(x) = const. Тогда ограничение на уравнение (2.34) заключается в том, что 2roft = тт. При этом условии положительное состояние равновесия (2.34) асимптотически устойчиво, а окрестность К(х, D) (в соответствующем фазовом пространстве (2.29)) может быть устроена более
2.2, 2.3.
(2.34)