Анализ составных симплектических методов и симплектических методов Рунге-Кутта на длительных интервалах времени

• Автор: Геворкян, Мигран Нельсонович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 168 с. : ил.

Оглавление
Глава 1. Классификация численных методов решения ОДУ. Методы семейства Рунге-Кутты
1.1. Классификация численных методов. Основные понятия и обозначения
1.2. Методы семейства Рунге-Кутты
1.3. Способы построения численных методов
Глава 2. Симплектические численные методы
2.1. Механика Гамильтона на языке симплектической геометрии
2.2. Условие симплектичности методов семейства Рунге-Кутты
2.3. Составные симплектические методы
2.4. Симплектичность в терминах производящей функции
Глава 3. Анализ основных симплектических методов
3.1. Условие явности и диагональной неявности присоединенного метода Рунге-Кутты и связь с условием симплектичности
3.2. Сравнение различных симплектических численных методов
3.3. Ограниченная задача трех тел
Список иллюстраций
Список источников

Введение
Общая характеристика работы
Данная работа посвящена сравнительному анализу эффективности (точность и скорость) применения симплектических численных методов разных типов к уравнениям Гамильтона в зависимости от вида функции Гамильтона. Также даны оценки точности сохранения физически значимых инвариантов на примере задачи Кеплера и задачи трех тел. Для задачи трех тел записан составной симплектический метод неприводимый к методам из семейства Рунге-Кутта.
Актуальность темы
При численном моделировании динамических процессов на длительных промежутках времени (колебательные процессы, орбиты планет, электромагнитные колебания) необходимо следить за сохранением физических инвариантов, иначе численная модель не будет адекватно описывать эти явления и не будет соответствовать непрерывной модели. Наиболее простой пример — очень точное сохранение полной энергии системы (гамильтониана) даже для больших шагов сетки. Эта особенность дает возможность определить характер динамического процесса, используя лишь грубые вычисления (с большим шагом сетки).

При создании классических численных методов основное внимание уделялось производительности: скорости вычисления, экономии памяти и т.д. Однако, по мере усложнения решаемых задач и развития вычислительной техники появилась необходимость в моделировании явлений и процессов продолжительных по времени. При этом проявились недостатки большинства классических численных методов — несохранение физических инвариантов и геометрических структур. В 90-х годах прошлого века стали активно развиваться методы, сохраняющие геометрические структуры. В случае гамильтоновой механики такими методами являются симплектические численные методы.
Стоит также отметить, что некоторые из типов симплектических методов (составные методы, в частности методы Йошиды) отличаются простотой построения компьютерных алгоритмов, так как изначально являются явными.
Интересно, что в сферу применимости симплектических численных методов входит такая сугубо прикладную область, как компьютерная графика и анимация.
Цель диссертационной работы
Оценка применимости симплектических раздельных методов типа Рунге-Кутта и симплектических составных методов к различным задачам гамильтоновой механики, оценка точности сохранения физически значимых инвариантов (полная энергия, момент импульса и т.д.).
и запишем присоединенный метод Рунге-Кутты Ф(/г)* в окончательном виде:
Ф*(Л): <
К = I (хо + С* И, у о + ,
У = Уо + ЬЬ*гк*, і,і - 1,...,«.
Пример 4. Найдем присоединенный метод к методу Рунге-Кутты-Нюстрёма:
Уг = уо + с,/гг() + к2а{/{уз),
Уі = Уо + /і-о + /і 2Ь>/{У3), гд = г0 + /г/Р/(У,), ч*,.7 = 1, •••,«•
Применив ту же схему и проведя несложные преобразования, получим в результате:
Ф(/і): <
Ф*(/г): <
Уг = У0 + (1 - Сг)/і^0 + /і2 ((1 - Сг)£і7 + (а’ - Р)) /(У,), Уі = Уо + /12:0 + Ь?{Ъ' - Ъ>)/(уз),
21 = г0 + hb>f(Y]),
Пример 5. Легко видеть, что неявное правило средней точки