Обобщенные характеристики, симметрии и точные решения интегродифференциальных уравнений теории длинных волн

• Автор: Чесноков, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 308 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Распространение возмущений в неоднородной и завихренной жидкости: применение теории обобщенных характеристик
1.1 Горизонтально-сдвиговые движения тонкого слоя жидкости в протяженном открытом канале
1.1.1 Вывод длинноволновой модели
1.1.2 Обобщенные характеристики уравнений движения .
1.1.3 Изменение типа системы уравнений в процессе эволюции течения
1.1.4 Класс решений с постоянной потенциальной завихренностью
1.1.5 Стационарные течения
1.1.6 Течение в локальном сужении или расширении канала
1.1.7 Течения с рециркуляционными зонами
1.2 Осесимметричные сдвиговые движения жидкости в длинной упругой трубке
1.2.1 Математическая модель
1.2.2 Условия обобщенной гиперболичности уравнений движения
1.2.3 Существование простых волн
1.2.4 Симметрии и инвариантные решения модели

1.3 Распространение длинных волн в двухслойной завихренной жидкости со свободной границей
1.3.1 Уравнения движения двухслойной жидкости
1.3.2 Характеристические свойства модели
1.3.3 Случаи слабого и сильного скачка плотности
1.4 Характеристические свойства и точные решения кинетической модели пузырьковой жидкости
1.4.1 Краткий обзор кинетических моделей пузырьковой
жидкости
1.4.2 Обобщенные характеристики и условия гиперболичности кинетического уравнения
1.4.3 Бегущие волны
1.4.4 Решение линеаризованной задачи
1.5 Основные результаты главы
2 Решения интегродифференциальных уравнений с линейносвязанными инвариантами Римана
2.1 Специальный класс решений уравнений вихревой мелкой

2.1.1 Различные формулировки уравнений вихревой мелкой воды
2.1.2 Интегральные инварианты Римана
2.1.3 Решения с функционально-связанными интегральными инвариантами Римана
2.1.4 Специальный класс решений с линейно связанными
инвариантами Римана
2.1.5 Простые волны
2.1.6 Законы сохранения и условия на разрыве
2.1.7 Центральные схемы для законов сохранения
2.1.8 Сведение уравнений вихревой мелкой воды к дифференциальным законам сохранения

2.1.9 Численные результаты
Тест #1: гладкие решения модели
Тест ф2 разрывные решения модели
Тест фЗ: сравнение результатов, полученных по полной и осредненной моделям
2.2 Специальный класс решений кинетического уравнения пузырьковой жидкости
2.2.1 Кинетическая модель Руссо — Смереки
2.2.2 Интегральные инварианты Римана
2.2.3 Класс решений с функционально-зависимыми инвариантами Римана
2.2.4 Решения с линейно-зависимыми инвариантами Римана
2.2.5 Простые волны
2.2.6 Законы сохранения и сведение к многослойной.системе дифференциальных уравнений
2.2.7 Числрнный эксперимент
2.3 Основные результаты главы
3 Взаимодействие сдвиговых потоков и распространение бора
3.1 Задача о взаимодействии завихренных потоков в канале .
3.1.1 Постановка задачи
3.1.2 Уравнение двухслойного движения с кусочно-постоянной
завихренностью
3.1.3 Простая волна взаимодействия потоков
3.1.4 Траектории движения частиц
3.1.5 Дифференциальные законы сохранения
3.1.6 Решение с сильным разрывом
3.2 Бегущие волны на сдвиговом потоке со свободной границей
3.2.1 Математическая модель

в поле силы тяжести с учетом нетривиального распределения профиля скорости по глубине [75, 41].
Рассмотрим решения системы (1.1.8), удовлетворяющие неравенству Н > 0. Это неравенство означает, что глубина жидкости в канале к и якобиан перехода к полулагранжевым переменным Фд(£, х,Х) больше нуля. При этом значения лагранжевой переменной А увеличиваются при возрастании эйлеровой координаты у. Анализ характеристических свойств модели проводится в предположении монотонного изменения скорости и(Ь, х, А) по ширине канала. Для определенности полагаем и(Ь,х, А) > 0. Если удовлетворить этому условию в начальный момент времени £ = 0, то в силу системы (1.1.8) оно будет выполнено и при всех Ь > 0. Сформулированные ниже утверждения справедливы также для симметричных относительно центральной линии канала у = 0 течений (при этом Уфх) = — У 0е)), которые удовлетворяют условиям
и(£, х, А) = иф,х, 1 — А), и ф 0 при А е (0,1/2). В этом случае линию
у — 0 (или А = 1/2) можно считать непроницаемой границей и рассматривать течение в области У] < у < 0 (или 0 < у < УД Кроме того, результаты работы [79] позволяют сформулировать условия гиперболичности уравнений движения для течений с немонотонным распределением скорости и(£, х, А) по ширине канала в предположении, что имеется одна невырожденная критическая точка
и > 0 при 0 < А < А*(£, х),
и < 0 при А*(£, х) < А < 1, (1.1.13)
и\ф,х, А*(£, ж)) ф 0, иф,х, 0) < иф,х, 1).
Для моделирования гидравлических прыжков в рамках рассматриваемой модели необходимо сформулировать корректную систему законов сохранения. Используя аналогию с классическими уравнениями мелкой воды [73] и длинноволновой моделью вертикально-сдвиговых движений [77, 160], для определения разрывных решений будем использовать еле-