Методы вариационной и итерационной регуляризации для линейных операторных уравнений в банаховых пространствах

• Автор: Чистяков, Павел Александрович
• Шифр специальности: 01.01.07
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Екатеринбург
• Количество страниц: 100 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Обозначения и соглашения
Введение
Глава 1. Регуляризация линейных операторных уравнений с
В-симметричным и В-положительным оператором
1.1. Постановка задачи
1.2. Метод регуляризации
1.3. Дискретная аппроксимация регуляризующего алгоритма
1.4. Численное моделирование
Глава 2. Итерационный метод решения линейных
операторных уравнений в банаховых пространствах
2.1. Постановка задачи
2.2. Дуальные отображения, дистанция Брэгмана
2.3. Сходимость итерационного процесса с точными данными
2.4. Итерационный алгоритм с асимптотически уточняемыми
данными и принцип невязки
2.5. Численное моделирование
Глава 3. Многошаговый итерационный метод решения линейных операторных уравнений в банаховых пространствах
3.1. Постановка задачи
3.2. Проекция Брэгмана и её свойства
3.3. Сходимость многошагового итерационного процесса с точными данными
Список литературы

Обозначения и соглашения
N — множество всех натуральных чисел;
М — множество всех вещественных чисел;
К+ — множество всех неотрицательных вещественных чисел;
Ж” — евклидово пространство n-мерных векторов и = ип)
X* — сопряженное банахово пространство к линейному
нормированному пространству X;
1р — банахово пространство последовательностей с нормой
/ +00 ч 1 /р
||ж|| = II (жь..., = ( £ хпП , I < р < +оо;
С[а, Ь] — банахово пространство непрерывных на отрезке [а, Ь]
функций с чебышевской нормой;
Li[a,b] — банахово пространство интегрируемых по Лебегу
функций;
Lp[a, b — банахово пространство интегрируемых в р-ой степени по
Лебегу функций с нормой ||tt||jk = /а& u(t)pdt, 1 ^ р < оо; Lqo[а. Ь — банахово пространство измеримых существенно
ограниченных функций с нормой
1М|оо = vraimax | и = inf < sup Щж)| : т{Е) — 0 > ;
Ec[a,b] f [аДЕ ■>
Wp[a, Ъ] — пространство Соболева порядка п с обощенными
производными суммируемыми с р-ой степенью на [а,Ь]:
(х, /) — значение функционала / на элементе х скалярное
произведение в гильбертовом пространстве;
£(Х, Y) — пространство всех линейных ограниченных операторов,
определенных на X со значениями в Y; кегЛ — ядро линейного оператора Л;
ЩА) — область значений линейного оператора Л;

хп —>■ х — слабая сходимость хп к х нижний (наименьший часп
последовательности {жп};
lim хп — нижний (наименьший частичный) предел
п->+оо

lim — верхний (наибольший частичный) предел

последовательности {хп}
Хп ~ X — пространства Хп образуют дискретную аппроксимацию
пространства X со связывающими операторами {рп}',

Хп >• X ---- дискретная СХОДИМОСТЬ элементов Хп К X]

хп —> х — дискретная слабая сходимость элементов хп к х;
Ап —А — дискретная сходимость операторов Ап к А;
Ап --■> А — дискретная слабая сходимость операторов Ап к А;

Qn Q — Моско-сходимость множеств Qn к Q; df(x) — субдифференциал функции / в точке ж;
Jx — дуальное отображение пространства X;
— дуальное отображение с функцией роста Jp — дуальное отображение степени р ;
Jtq — дуальное отображение в сопряженном к исходному
пространстве степени q; а V b — максимум из вещественных чисел а и Ъ
а Ab — минимум из вещественных чисел а и 6;
6х — модуль выпуклости пространства X;
рх — модуль гладкости пространства X;
А/(жі,жг) — дистанция Брэгмана от Жі до Ж2 по функционалу/; Ар(жі,Ж2) — дистанция Брэгмана от х до х% по функционалу fp(x) = (1/р)||ж||р; п£(ж) — проекция Брэгмана элемента х на множество С
по функционалу /;
П^(ж) — проекция Брэгмана по функционалу fp{x) = (1/р)||ж||р;

Пусть С — константа, ограничивающая нормы элементов {жп}. Поскольку (хпк,Рпк1)) фундаментальна, выберем номера А: и I настолько большими, чтобы I(хпьЖъЬ) - (хппРщШ < £• Получи

(xnk,PnJ) - {XnoPnJ) I ^ C{\p'nJ-p'njj -Pnk(f - fj) II + \Pnk(f - fj) II) +e+
+C([Ip'njj - p'nj - p'mifj - /)ll + Wp'mifj - f)II)-По свойствам (а) и (b) связывающих операторов р'п можно еще увеличить к настолько, чтобы
\Pnj-Pnjj-p'nk(f-fj)\ & ш1-т<и-т+е~2е.
Аналогично можно увеличить и номер I. Тогда получим окончательную оценку (xnk,PnJ) - (XnnPnJ)I < ЗСе + £ + 3Се = (6С + 1)е.
Таким образом, установлено, что для любого / G X* числовая последовательность {(хПк,р'Пк/)} сходится. Рассмотрим теперь функционал р : X* —» R, заданный по правилу
V/ G X* ip(f) = lim (хПк,р'п /).

Этот функционал линейный. Действительно, пусть ai,a2 € К, /ь/2 € АГ*. Имеем
| = kjmJ(xnk,p'nk(aih + a2/2)} - ai{xnk,p'nkfi) ~ a2(xnk,p'nM ^
< + ^2 ff) - ßiP^/i - a2p^/2|| ■ ||anJ} = 0.
Кроме того, у? является непрерывным. В самом деле,
Поэтому ip G X**. Так как X — рефлексивное пространство, то р можно отождествить при естественном изоморфизме с некоторым элементом X £ X так, чтобы для любого / G X* было выполнено
(ж, /) = ip(f) = (/, <р) = lim {хПк,р'п /).
/с->-4-оо
По определению слабой сходимости это означает, что хПк -^4 ж при к —э +оо. Предложение 1.3.2 доказано.