Подгруппы групп Баумслага-Солитера

• Автор: Дудкин, Федор Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 62 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Подгруппы групп Баумслага-Солитера
1.1 Необходимые определения
1.2 Свойства погружаемых графов групп
1.3 Упрощение проверки погружаемости
1.4 Некоторые свойства ВБ{р, д)
1.5 Критерии вложимости
2 Подгруппы конечного индекса
2.1 Двунорожденность
2.2 Копредставления
2.3 Число классов сопряженных подгрупп индекса п
3 Число подгрупп данного конечного индекса в группах Баумслага-Солитера
3.1 Двупорожденные транзитивные подгруппы симметрической группы
3.2 Число подгрупп индекса п в группе ВЗ((1р,(1о)
Литература

Введение
Группа называется хопфовой, если всякий её гомоморфизм на себя имеет тривиальное ядро, т. е. является автоморфизмом. Это свойство было отменено X. Хопфом (H. Hopf) в связи с исследованием проблемы, связаны ли отображения степени 1 между замкнутыми многообразиями гомотопической эквивалентностью.
Очевидно, любая конечная группа хопфова, а свободная группа счетного ранга иехопфова. А. И. Мальцев [5] доказал, что любая конечно порожденная финитно аппроксимируемая группа хопфова, в частности, это верно для конечно порожденных линейных групп. Первые примеры (23] конечно порожденных нехопфовых групп были достаточно сложны. В 1962 году Г. Баумслаг и Д. Солитер [8] нашли серию нехопфовых групп с одним соотношением простого вида в классе групп
BS(p,q) = (а, t ]| t~lapt = а1').
Здесь р, q - пара ненулевых целых чисел (параметры).
Оказалось, что если р и q взаимно просты (обозначение: р 1 q) и по модулю не равны 1, то BS(p, q) нехопфова: её эпиморфизм ip: t н-» f, о i—> av отображает нетривиальный элемент [t at, а] в единицу группы.
Впоследствии группы BS(p,q) стали называть группами Баумелага-Солитера, а соотношение f_1a.pf = aq - соотношением Баумслага-Солитера,. Уже видно, что с одной стороны группы Баумслага-Солитера обладают нетривиальными свойствами, с другой - относительно просто заданы. Кроме того, соотношение сопряженности Баумслага Солитера часто встречается в теории групп и её приложениях. Приведем небольшой обзор результатов о группах Баумслага-Солитера.
Отметим сразу, что группы BS(p, q), BS(q,p) и BS(—p, —q) изоморф-

ны. Поэтому можно считать, что р > 0,р ф |д|. Если р — д = 1, то Вв(р, д) абелева или почти абелева (фундаментальная группа тора или бутылки Клейна). Если р = 1, то В3(р,д) - линейная группа, порожденная целочисленными матрицами
Можно так же считать, что Я5(1,д) — расширение аддитивной группы кольца д-адических рациональных чисел Z[l /д] с помощью автоморфизма
В частности, это метабелева группа при д ф 1, каждый ее элемент единственным образом представим в форме слова Рагде i,j ф О и, если г, у > 0, то к не делится на д.
Если р > 1 и |д| > 1, то группы В3(р,д) более близки к свободным неабелевым группам. Если обозначить щ = Ь~'а1г. г Е X. то подгруппа N, порожденная элементами а*, где г £ Ъ, нормальна и представима в виде итерированного нетривиального свободного произведения с объединением бесконечных циклических групп
Иначе говоря, В3(р, д) — ЯЯА/’-расширение с базисной бесконечной циклической группой (а) и сопрягаемыми подгруппами (ар) и (а4). Её элементы представимы единственным способом в виде левой (или правой) нормальной формы. Произвольное редуцированное слово ги — н;(£,а) свободной группы Я(£,а), представляющее единичный элемент группы П5(р, д), либо имеет подслово £_1а*£, где р | к, либо имеет подслово £<А-1, где д | к (ввиду леммы Бриттона, см., например, [4|, гл. 4, §2). Отсюда коммутатор [£_1а£, а] не равен единице в Я5(р, д)

петли графа групп А удовлетворяют Лемме 1.9 и всякий луч групп из А удовлетворяет Лемме 1.10. Если фундаментальная группа графа групп А вкладывается изоморфно в группу Вв(р, ф), то изоморфное вложение можно найти алгоритмически.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если ядро А конечно, то доказательство заключается в совмещении доказательств Леммы 1.10 и Теоремы 1.11.
Необходимость условия теоремы о конечных подграфах групп и лучах сразу видна. Достаточность требует пояснения в случае бесконечности ядра графа А.
Предположим, что ядро А бесконечно. Пусть Т - максимальное поддерево графа А. Перенумеруем ребра вне максимального поддерева Т: П) Ь‘2, ■ ■ ■, Ьг, — Пусть Т С А С • • • С Ап С ... - последовательность вложенных графов, такая что А С А и А содержит ровно г первых ребер ДДг, • • • ,и. В этом случае ядро каждого Ai конечно, следовательно для соответствующего А,' теорема верна. Значит, яДА^, аг) взаимнооднозначно отображается на подгруппу Щ С яДА, а).
Покажем, что если г < j, то можно считать, что /Д с Hj. Пусть А,; С Ау-. Так как оба графа групп обладают конечным ядром, то существуют Графы Групп Дг И Aj, ПОГруЖаеМЫС В А', Причем яДДг,ег) ~ яДАдщ) и яДД^, Су') ~ яДА^-, аф). Из способа доказательства Теоремы 1.7 видно, что можно выбрать А, и Ду так, что Д,- С А]. Так как Д( и Д, погружаются в А', то существую’]' погружения Ф,: Д,; —> А7 и Фу: Aj —> А', а так как Д; С Aj, то Фг = Ф^|д . В этом случае соответствующие изоморфные вложения ; яДД^с,) > яДА', ао) и Д : 7гг(Д^,, с,) > яДАа0) таковы,
что ф, = ДД,(д с )- Это значит, что /Д С Н].
Пусть

н = [_}нг

Так как каждая Щ С яДА',ао), то Н С яДА', аф). Определим ф: яДА, а) —» Н следующим образом. Пусть д £ яДА, а). Тогда существует г такое, что д £ яДА^,аД либо д £ я(ТД). Тогда положим ф(д) — ффд), т.е. = фг- Это есть требуемое изоморфное вложе-