Применение достаточных условий оптимальности при исследовании стохастических моделей рынков не вполне ликвидных товаров

• Автор: Жукова, Александра Александровна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2012
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 85 с.

1 Введение
1.1 Актуальность темы исследования
Наиболее фундаментальным подходом моделированию экономических процессов в настоящее время считается описание динамики экономической системы как результата взаимодействия рационально действующих экономических агентов. Таким способом строятся, как модели целостных экономических систем, так и модели отдельных рынков. Наиболее естественно строить такие модели, рассматривая рациональное поведение агентов в случайной внешней среде, что, в частности, предполагается принципом рациональных ожиданий [27], [4], [32].
Подобных моделей существует довольно много (см. обзор ниже). Однако, такие модели обычно рассматриваются либо в дискретном времени, либо для диффузионных процессов, предполагают совершенства рынка и простые условия информированности агентов, а также далеко не всегда исследуются достаточно корректно и последовательно. Поэтому с точки зрения дальнейшего использования в прикладных моделях экономики актуальной задачей остается создание набора достаточно полно и строго исследованных стохастических моделей рынков, учитывающих разного рода «трения», присущие реальным экономическим отношениями, и таких, в которых условия информированности агентов согласованы с описанием всей системы.
Также с точки зрения будущих приложений и содержательной интерпретации представляется целесообразным рассмотреть редко исследуемый случай, когда взаимодействие агентов описывается как последовательность дискретных сделок, происходящих в случайные моменты времени.
Наконец, поскольку указанные типовые модели должны быть в каком-то смысле исследованы до конца, имеет смысл особое внимание обратить на достаточные условий оптимальности, поскольку их формулировать часто гораздо проще, чем необходимые.
1.2 Степень разработанности проблемы в литературе.
Мы исследуем поведение торговцев недвижимостью, а также процесс поиска контрагентов на рынке не вполне ликвидного товара. В первой модели рассматривается процесс заявок от обладателей недвижимости, которые они могут сообщать, например, брокерам. Те, в свою очередь, занимаются процессом поиска контрагентов. Можно рассмотреть влияние заявок агентов на цену

недвижимости на уровне макроописания, как это сделано в Главе 3 данной диссертации. С другой стороны, процесс можно описать процесс поиска контрагентов схемой из Главы 4 данной диссертации.
Было предпринято немало попыток построить математические модели рынка не вполне ликвидных товаров, в частности недвижимости. Как в работах [16], [3], мы называем не вполне ликвидным товар, для которого поиск контрагента для совершения сделки затруднен. Поэтому такой товар может торговаться с задержками между сделками.
Существуют и другие подходы к описанию явления неполной ликвидности товара. Затруднения в торговле могут вызываться недостатком информации о товаре. В этом случае на рынке может наблюдаться периодическая торговая активность и «затишье». В работе [33] с помощью модели с асимметричной информацией такой эффект объясняется координацией действий более информированных торговцев на рынке. В работе [6] моделируется влияние ограничений капитала торговцев на рыночную ликвидность и интенсивность торговли. Свободному перераспределению запасов может препятствовать наличие транзакционных издержек, которые заставляют агентов их откладывать сделку на некоторое время. Такие модели рассмотрены, например, в работах [9], [41], [16], где предполагается или получается, что агент реже совершает сделки, требующие транзакционных издержек, чем в отсутствие транзакционных издержек. Как следствие, агенты не присутствуют на рынке неликвидного товара непрерывно, а появляются на нем через промежутки времени.
Наиболее близкой к нашему исследованию является работа S. Grossman и G. Laroque [16]. Авторы разработали модель с отдельным неликвидным товаром длительного хранения, от которого бесконечно живущие потребители получают полезность. Сходную модель предложили D. Сиосо И Н. Liu [10], изменив предположение о неделимости приобретенного неликвидного товара. Торговля товаром требует транзакционных издержек, пропорциональных объему проданного товара. Цена товара меняется случайным образом и описывается диффузионным процессом. Помимо товара длительного пользования, агент вкладывает средства в безрисковый актив и рискованные активы, цена которых также описана диффузионным процессом. Формально задача агента заключается в максимизации ожидаемого значения интеграла от дисконтированной полезности от будущего потребления товара длительного пользования и стохастических дифференциальных уравнениях в роли ограничений. При этом,

агент выбирает оптимальный момент остановки процесса, в который он совершает сделку по покупке или продаже неликвидного товара. Применяя метод динамического программирования, авторы показывают, что оптимальное управление моментами изменения запаса товара подразумевает откладывание сделки до момента, когда фазовые переменные покидают область, называемую «безтранзакционной». Процесс, описывающий запас товара имеет разрывы в моменты, когда агент совершает покупки на границе «безтранзакционной» области. В заключение, авторы, помимо прочих, высказывают пожелание продолжить исследование и рассмотреть задачу с экзогенными моментами возможных сделок по покупке неликвидного товара. Попытка такого развития модели сделана в [3].
Первая модель, представленная в данной работе, включает в себя задачу управления случайными процессом с бесконечным горизонтом планирования. Случайная составляющая моделируется пуассоновским процессом, что приводит к описанию системы как совокупности процессов, детерминированных на интервалах времени и меняющихся в дискретные моменты времени. Подобное описание возникает в различных областях моделирования экономики. В моделях теории экономического роста экономические показатели могут иметь ступенчатую динамику, как в детерминированных моделях [17], [19]. В стохастических моделях эндогенных бизнес-циклов и теории роста [40], [42], [43] уровень производства может изменяться в результате шоков (например, технического прогресса), которые описываются пуассоновским процессом. В финансовой модели Р. Мертона [25], а также последовавших за ней работах [16], [10], [3] и других, представлены модели оптимального формирования портфеля. Как правило, в основе модели ставится задача максимизации дисконтированной полезности потока потребления при ограничениях в виде стохастических дифференциальных уравнений. В теории оптимального управления портфелем ценных бумаг, за редким исключением, случайная составляющая включается в динамику цены, а перераспределение активов может производиться непрерывно. Однако в последнее время начали появляться исследования со случайными моментами перераспределения инвестиций в портфеле.
Например, А. Ап£, 0. Раратко1аои и М. Л/е51егое1б [3] рассматривают модель оптимального распределения богатства между безрисковыми сбережениями, ликвидным активом со случайной ценой и неликвидным активом также со случайной ценой, но помимо этого еще со случайными моментами сделок.

‘%и(г)К((-у)2) + 2(х)у)а е
Если теперь выразить интегралы с1т и
г(т)'
Тг(т) —М_е-Мт из (2.70), (2.71) и подставить выражение
г(т)'
второго из них в (2.68), то получится уравнение
к(/) = а Н (I, у (0) + (-у (!)) — (!, у(0),

которое в силу (2.73) приобретает вид
м(г) = откЯ>() у) (2.74)
2.4.2 Существование м(г) > 0 Уравнение (2.74) и выражение (2.70) показывают, что функция и(/) является неподвижной точкой оператора.
Нк) (Ьйшх /—7 + [ Л , (2.75)
1 мол,] (Л+ 5) } г(х)' I'
действующего на пространстве С* неотрицательных непрерывных функций
и:[0,оо)->Е'+ с нормой7 ||м|| = вир{м(г)е8'|.
Утверждение 8. Н [«()] е С
||Н[и,()-щ()][ < ||«, -щ| (2-76)
Доказательство: Из (2.75) очевидно следует, что оператор Н переводит неотрицательную непрерывную функцию в неотрицательную непрерывную и, что.
7 Интегральная часть оператора Н сжимает любое из пространств С7 при а > 0. Пространство Сд выделяется тем, что именно ему принадлежит свободный член в (2.75).