Моделирование гидродинамических процессов в мелководных водоемах на оптимальных криволинейных сетках

• Автор: Васильев, Владислав Сергеевич
• Шифр специальности: 05.13.16
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1997
• Место защиты: Таганрог
• Количество страниц: 147 с. : ил.

- 2 -ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА I. ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ МЕЛКОВОДНОГО ВОДОЕМА
§1. Вывод уравнений гидродинамической модели
§2. Уравнение баланса аналога полной механической энергии..Л8 §3. Другие гидродинамические модели мелководного водоема
§4. Дискретизация гидродинамической модели
§5. Конечно-элементная аппроксимация слагаемых схемы
§6. Постановка граничных условий и решение уравнения для
возвышения уровня
ГЛАВА II. ПОСТРОЕНИЕ КРИВОЛИНЕЙНЫХ СЕТОК ИЗ ВЫПУКЛЫХ
ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКОВ
§7. Вспомогательные соотношения
§8. Семейства функционалов
§9. Квазиньютоновские методы
§10. Градиентные методы наискорейшего спуска и сопряженных
направлений
ГЛАВА III. МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЕТРОВЫХ ТЕЧЕНИИ В АЗОВСКОМ МОРЕ И
ТАГАНРОГСКОМ ЗАЛИВЕ
§11. Построение сетки и диджитайзинг дна
§12. Моделирование ветровых течений
ГЛАВА IV. ОЦЕНКИ СКОРОСТИ СХОДИМОСТИ СЕТОЧНЫХ УРАВНЕНИИ
§13. Теорема сравнения
§14. Постановка задачи
§15. Локально-двумерная схема
§16. Оценки скорости сходимости
§17. Анализ других локально-двумерных схем
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ
- 3 -ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы диссертации. Большинство внутренних водоемов России и многие прибрежные районы морей являются мелководными водоемами, для которых отношение характерных размеров в горизонтальных направлениях составляет 104 и более. Но именно эти водные экосистемы испытывают наибольшую антропогенную нагрузку, связанную со строительством портов, прокладкой судоходных каналов, а также с различного рода загрязнениями. Многие из этих экосистем являются уникальными и весьма "хрупкими” (такие как Таганрогский залив и Азовское море в целом, северный Каспий и др.).
Поскольку крупномасштабные натурные эксперименты здесь являются не только чрезвычайно дорогостоящими, но в большинстве случаев недопустимы, то единственно возможным средством анализа и прогноза водных экосистем является математическое моделирование [13.
Среди задач водной экологии первичными являются расчеты гидрофизических параметров. Гидродинамические характеристики водоемов (шля скоростей водного штока, функции возвышения уровня) являются входными данными для расчета распространения загрязняющих веществ и развития всего живого в водной среде, начиная от фитопланктона и заканчивая млекопитающими.
Для выявления общих свойств сложных пространственных течений можно использовать численные методы [23. Но нельзя получить осмысленное решение физической задачи, связанное с нахождением шлей параметров течения, если граничные условия не заданы адекватным образом. Уравнения Навье-Стокса и неразрывности представляют собой дифференциальные уравнения, описывающие удивительно широкий класс разнообразных течений, которые при изменении условий на границе могут отличаться друг от друга не только количественно, но и качественно (33.

С другой стороны, наиболее интересные и значительные расчеты проводятся на пределе вычислительных ресурсов и их уточнение путем измельчения сетки часто бывает невозможно £43. Схемы разностного представления, используемые на границах, когда последние не проходят через узлы обычных прямоугольных сеток в декартовой системе координат, в интерполяции сложны и громоздки. Повышение порядка аппроксимации этих схем связано с большими трудностями и не гарантирует улучшения точности и эффективности решения [53.
Получение решений повышенной точности возможно, когда граница проходит через узлы сетки. В этом случае интерполяция не требуется, и можно осуществить прямой переход к схемам более высокого порядка аппроксимации. Применение таких сеток предпочтительнее, когда решение определяется в основном граничными условиями [53.
В силу сказанного, тема данной работы, посвященной математическому моделированию гидродинамических процессов в мелководных водоемах на оптимальных криволинейных- сетках, является актуальной.
Цели и задачи исследования. I. Построение гидродинамической модели, удовлетворяющей основным законам сохранения (массы, импульса, энергии) и учитывающей испарение воды и выпадение осадков, поскольку для объектов математического моделирования -Азовского моря и Таганрогского залива объем испаряющейся жидкости (преимущественно в летние месяцы) сравним с годовым речным стоком, а годовой объем выпадающих осадков уравновешивает водообмен между Азовским и Черным морями.
2. Разработка алгоритмов построения регулярных сеток для областей сложной формы, какими являются акватории реальных водоемов, границы которых предопределены.
3. Дискретизация построенной модели на полученной криволинейной сетке, разработка алгоритма численного решения задачи

"нижнему-левому" (Ы) узлу (если она есть), - "нижней-левой” (ВВ), ячейку, смежную единственному ее "верхнему-левому” (11) узлу (если она есть), - "верхней-левой" (ТВ), ячейку, смежную единственному ее ”нижнему-правому" (Ьг) узлу (если она есть), -"нижней-правой" (БД), ячейку, смежную единственному ее "верхнему-правому" (г; узлу (если она есть), - "верхней-правой” (ТВ.) ячейками получающегося, в общем случае, девятиячеечного шаблона, а значения сеточных функций, относящиеся к "нижней-левой” (ВВ), "левой” (I), "верхней-левой" (ТВ), "нижней" (В), "центральной" (С), "верхней" (Т), "нижней-правой" (БД), "правой" (Д) и "верхней-правой" (ГД) ячейкам будем снабжать верхними одно- или двухбуквенными (прописные буквы) индексами ВВ, В, ТВ, В, С, Т, БД, Д и ТВ. соответственно (рис. 3). Если все величины, входящие в математическое выражение, относятся к единой ячейке, верхний индекс ячейки может выноситься за скобки, либо опускаться.
Определяя следующим образом скалярное произведение (/>8) = 1№<Х*У) '8(х,у)бхбу

= !Н(х(£’‘Ц)>У(£>'П))’8(х(£,Г)),у(£,'п)№тап, J = х'ку~ х'у'%, (в')
и вводя модель силы трения жидкости о дно линейно зависящей от усредненных по глубине компонент вектора скорости
br.bat г - + от1].
для отдельных слагаемых схемы
(р-10Д + (у2/»]/ (ОТ/ЙГ + (ш'рНР/Я} - С¥Р){я'„+и-т)
- (1-в)к(и/Н) - (1-б)2МвШв, фи] = О,
(р-У)А + (от/я)'+ [у2/в)% (ы/рху/я)

- (1-1)к(у/Н) + (1-б)2Ш8Ш, фу] - О,
((С-ОА + их+ (ы/р), ф?] = о,