Структурные свойства и полнота класса регулярных полигонов

• Автор: Овчинникова, Елена Викторовна
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Новосибирск
• Количество страниц: 91 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ ВВЕДЕНИЕ
1. СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА КЛАССА ВСЕХ ПОЛИГОНОВ
И КЛАССА РЕГУЛЯРНЫХ ПОЛИГОНОВ
1.1. Предварительные замечания
1.2. Порождения класса всех полигонов
1.3. Два типа конгруэнций полигонов
1.4. Амальгамы и конгруэнции І-го типа
1.5. Регулярные полигоны
2. ПОЛНЫЕ КЛАССЫ РЕГУЛЯРНЫХ ПОЛИГОНОВ
2.1. Сведения из теории моделей
2.2. Сведения и вспомогательные результаты
из теории полугрупп
2.3. Свойства полных и аксиоматизируемых
классов 5-полигонов
2.4. Полные классы регулярных полигонов
с условием формульной определимости
2.5. Полные классы регулярных полигонов
над моноидами глубины
3. ПРИМЕРЫ МОНОИДОВ, НАД КОТОРЫМИ КЛАСС РЕГУЛЯРНЫХ ПОЛИГОНОВ ПОЛОН,
НО НЕ МОДЕЛЬНО ПОЛОН
3.1. Не линейно упорядоченный моноид, над которым
класс регулярных полигонов полон, но не модельно полон
3.2. Линейно упорядоченный моноид глубины 3, над которым
класс регулярных полигонов полон, но не модельно полон
ЛИТЕРАТУРА
ВВЕДЕНИЕ
Важным направлением современной теории моделей является описание структурных свойств классических алгебраических систем (таких, как группы, кольца, поля, модули, линейные алгебры и др.), обладающих теми или иными теоретико-модельными свойствами,
Понятие полигона было введено JI.A. Скорняковым [21] и относится к фундаментальным в таких областях как теория представлений, теория автоматов и др. Полигонная структура присутствует как обеднение в теоретико-модельном смысле в модулях и линейных алгебрах.
Изучению алгебраических свойств полигонов и различных их классов посвящены работы JI.A. Скорнякова [21, 22], М. Кильпа, [5, 32, 33], У. Кнауэра [32-37], A.B. Михалева [35-37] и др.
Теоретико-модельные свойства полигонов и различных их классов исследовались в работах Т.Г. Мустафина [1, 7, 8, 39], Б. Пуазы [39], В. Гоулд [30], A.A. Степановой [23-27], B.C. Богомолова [1]. Изучению унаров, которые являются обеднениями полигонов, посвящены работы Ю.Е. Шипшарева [29], JI. Маркуса [38], A.A. Иванова [3], А.Н. Ряскина [20].
Одним из интереснейших классов полигонов является класс регулярных полигонов. Понятие регулярного полигона ввел Трэн Лэм Хэч [40]. Оно аналогично понятию регулярного модуля, данного Зельмановичем [41]. В соответствии с этим определением регулярным полигоном является любой проективный полигон и любой регулярный моноид как полигон над собой.

Алгебраическим свойствам класса регулярных полигонов посвящены работы М, Кильпа, У, Кнауэра, A.B. Михалева [5, 32-37], а такие их теоретико-модельные свойства как стабильность, аксиоматизируемость и модельная полнота изучены в работах A.A. Степановой [24, 25].
В диссертации описывается строение класса регулярных полигонов, рассматриваются вопросы порождения класса всех полигонов, изучаются полные классы регулярных полигонов, исследуется взаимосвязь полноты и модельной полноты класса регулярных полигонов, строятся примеры моноидов, классы регулярных полигонов над которыми являются полными, но не модельно полными.
В диссертации используются аппарат теории моделей, универсальной алгебры и теории полугрупп.
Диссертация содержит 91 страницу машинописного текста, состоит из введения, трех глав, разбитых на 12 параграфов, и списка литературы, включающего 41 название.
Все основные результаты диссертации являются новыми. Они опубликованы в 11 работах автора [9-19] и докладывались на семинарах Института математики СО РАН (г. Новосибирск), Московского государственного университета, Дальневосточного государственного университета, а также на следующих международных конференциях, коллоквиумах и школах-семинарах: "Третий казахско-французский коллоквиум по теории моделей” (Алма-Ата, 1994); "Летняя школа по теории моделей и универсальной алгебре” (Эрлагол, 1995); "Международная конференция по математической логике, посвященная 90-летию со дня рождения А.И. Мальцева” (Новосибирск, 1999).

1) множество {5а | 5а С 5е} линейно упорядочено по включению;
2) если Sa С Se,e<£ U{а;51 1 < і < m}, где а, а,- Є 5, 1 < t < т, то найдутся идемпотенты еу Є Г (У Є w) такие, что еу е&, 5а = 5еу, еу Є е5 и{а»511 < і < m} длд j, к£ш, j ф k
3) |e5g,| > у,
Полугруппа 5 называется линейно упорядоченной, если для любого 6 € 5 множество {5а | 5а С 56} линейно упорядочено по включению.
Отметим, что в терминах линейной упорядоченности условие 1 факта 2.1.2 можно переформулировать следующим образом: полугруппа Т(5) является линейно упорядоченной.
Для доказательства полноты классов полигонов мы будем пользоваться следующим утверждением.
Факт 2.1.3 [2]. Пусть Л и В — алгебраические системы сигнатуры Е. Системы Л и В элементарно эквивалентны тогда и только тогда, когда для любого п Є и и любой конечной сигнатуры Еі С £ существуют непустые множества jFi(£i, п)
если / Є #(£і, гг), 1 < і < п, то для любых а Є А, 6 Є В существуют 01,02 € Д-+і(Еі,га), для которых а € domglt Ь Є rang03, / С дх Пд2.
2.2. Сведения и вспомогательные результаты из теории полугрупп
В этом параграфе через 5 будем обозначать произвольную полугруппу.