Асимптотические представления распределений сумм слабо зависимых величин

• Автор: Клоков, Сергей Александрович
• Шифр специальности: 01.01.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Омск
• Количество страниц: 79 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ ТЕОРИИ СУММИРОВАНИЯ СЛАБО ЗАВИСИМЫХ ВЕЛИЧИН
§1. Условия слабой зависимости
§2. Правильно меняющиеся функции и последовательности и их
обобщения
§3. Обозначения и вспомогательные результаты
§4. Универсальная нормирующая последовательность
ГЛАВА 2. ФАКТОРИЗАЦИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ СУММ СЛАБО ЗАВИСИМЫХ ВЕЛИЧИН >
§1. Вспомогательные утверждения
§2. Факторизационная теорема
§3. Исследование компонент асимптотического представления
ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ
§1. Условия притяжения к нормальному закону в терминах
распределения одного слагаемого
§2. Условия притяжения к устойчивым законам в терминах
распределения одного слагаемого
УКАЗАТЕЛЬ ОБОЗНАЧЕНИЙ
ЛИТЕРАТУРА

ВВЕДЕНИЕ
Раздел теории вероятностей, в рамках которого доказываются предельные теоремы, на протяжении всего периода своего существования является одним из самых обширных и быстроразвивающихся. В этой области получены сотни результатов; в формулировках большинства из них имеются предположения о независимости некоторого исходного набора случайных величин (с.в.).
Стоит отметить два следующих обстоятельства. Во-первых, предположение о независимости является удобным с точки зрения доказательства теорем. Во-вторых, полученные таким образом теоретические результаты весьма неплохо согласуются с практическими приложениями. Значит, присутствующей в реальных экспериментах зависимостью иногда можно пренебречь без нарушения аппроксимирующих свойств предельных теорем. Попытки развития теорий без предположения о независимости позволяют построить более адекватную математическую модель эксперимента, исследовать специфические эффекты, проявляющиеся как следствия зависимости, выяснить условия, при которых известные для случая независимых случайных величин предельные теоремы остаются справедливыми. Результаты исследований такого рода объясняют, в каких случаях и почему зависимостью можно пренебречь.
В настоящей диссертационной работе рассматриваются предельные теоремы для сумм стационарно связанных величин. Пусть {£,} — стационарная (в узком смысле) последовательность случайных величин, 3~'п — ст-алгебры, порожденные семействами т} и {£, : ,7 п} соответ-
ственно. Если индекс п случайной величины интерпретировать как время и т < п, то и можно мыслить как “прошлое” и “будущее” случайного процесса. Когда последовательность {£„} состоит из независимых

случайных величин, при всех А € -т, В € справедливо соотношение
¥(АВ) - ¥(А)Р(В) = 0.
В общем случае левую часть этого равенства можно принять за основу измерения зависимости между “прошлым” и “будущим”. Простые примеры показывают, что если допустить сколь угодно сильную зависимость между слагаемыми, то невозможно получить содержательные предельные теоремы. В то же время, разумное предположение о слабой зависимости “далекого прошлого” и “далекого будущего” позволяет построить нетривиальный асимптотический анализ распределений сумм.
Дадим краткий обзор результатов, касающихся предельных теорем, рассматриваемых в диссертационной работе.
В работе [28] С. Н. Бернштейн предложил метод секционирования, позволяющий доказывать предельные теоремы для слабо зависимых величин, аппроксимируя исходную сумму с помощью суммы растущего числа независимых "блоков”. Конкретная реализация метода секционирования зависит от используемых условий слабой зависимости. В настоящее время наиболее употребительными являются условие сильного перемешивания, введенное в 1956 году М. Розенблаттом [40], и условие равномерно сильного перемешивания, появившееся в работе И. А. Ибрагимова в 1959 году (см. [11]).
Определение. Стационарная последовательность {£„} удовлетворяет условию сильного перемешивания (СП), если коэффициент перемешивания
«(«) = в«р{|р(ав) - адр(в)| А€?, в €
стремится к нулю при п оо.
Определение. Стационарная последовательность {£„} удовлетворяет условию равномерно сильного перемешивания (РСП), если коэффициент

Прямые вычисления показывают, что
аК 1 + е„)Ьп - <т1(сп)
= Е( 5„((1 + е„)Ь„))2 - Е(5„((1 + е»)Ь»)—£»(с„, (1 + еп)Ъп))2 = 2Е5„((1 + еп)Ьп)8„{с„, (1 + е„)Ь„) - Уаг5п(с„, (1 + е„)Ьп),
а применение неравенства Копш-Буняковского и (1.4.2) приводит к оценке
|<г*((1 + е»)&») - <г1(сп) 2ег„((1 + еп)Ьп)0(Ьп) + 0(Ь2), пЧоо.
По определению УНП для 0 < е„ < 1 выполняется неравенство
°я((1 + £п)Ь») < (1 + £»)&» = 0(Ь„),
так что
поэтому
К((1 + )Ь«)-Ы|=0(6);
|°г»((1 4” £»)&») »(Сп)! — С(ЬП),
а значит, а„(с„) = 0(Ь„) при п -Ь оо. Утверждение а) доказано.
Полагая с„ = Ьп, из только что доказанного выводим соотношение
г— <т„(Ъп) _ пт —:
п'4°° ъп
Если мы установим, что
Вт »». (1«>
»->00 Ь„
этого будет достаточно для доказательства утверждения б). Пусть {£„} — произвольная последовательность положительных чисел, убывающая к нулю и такая, что 6„ — о(Ь„) при п -4 оо (предположения пункта б) гарантируют, что Ьп > 0). По определению Ъ„ при любом фиксированном п для каждого натурального числа У существует такое с, что
(1 — 1/У)п &»> Спд < £»,1+1 и пС6»*;)