Исследование метода интегральных суперпозиций на задачах о кручении упругих стержней сложного сечения

• Автор: Даньшин, Андрей Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 128 с. : ил.

Глава 1 Построение решений задач о кручении упругих стержней методом интегральных суперпозиций
1.1. Постановка задачи о кручении
1.2. Метод интегральных суперпозиций
1.2.1. Расчетная схема для односвязной области
1.2.2. Расчетная схема для многосвязной области
1.3. Метод введения малого параметра
1.4. Погрешность метода интегральных суперпозиций
Глава 2 Задачи о кручении стержней с выточками
2.1. Зависимость погрешности от выбора расчетной схемы
2.1.1. Расчетная схема метода интегральных суперпозиций
2.1.2. Алгоритм выбора расчетных точек на границе кусочно-гладкой односвязной области с выпуклыми и вогнутыми участками
2.1.3. Зависимость погрешности от значения угла сопряжения гладких участков границы
2.1.4. Зависимость погрешности от шага дискретизации границы области
2.1.5. Сопоставление приближенного и точного решений
2.2. Кручение стального круглого стержня с круговой выточкой
Глава 3 Применение эффективных расчетных схем с использованием
дополнительных разрезов
3.1. Введение разреза в области поперечного сечения
3.2. Использование свойства симметрии области
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Литература
Актуальность темы. На современном этапе развития различных отраслей промышленности при разработке новых технологий возникают все большие потребности в рассмотрении прикладных задач теории упругости, а также совершенствовании математического аппарата для их решения.
В истории развития методов решения краевых задач теории упругости можно выделить несколько этапов. Первый этап характеризуется использованием точных аналитических методов. Начавшись с основополагающих работ Фурье и Д’Аламбера он продлился до середины XX века. В этот период с помощью метода разделения переменных были получены решения ряда дифференциальных уравнений в частных производных для простейших областей — круга, квадрата, эллипса, равностороннего треугольника цилиндра, шара и др. Дальнейшие усилия математиков были направлены на совершенствование этого и разработку новых аналитических методов. Причем, каждое решение какой-либо новой задачи являлось значительным событием в научных кругах.
Среди многочисленных технических задач, возникающих при конструировании машин и проектировании инженерных сооружений, важное место занимают расчеты их элементов на кручение. Особое значение имеет исследование напряженного состояния валов различной формы (цилиндрических, конических, ступенчатых, с выточками, с полостями и др.), работающих на кручение в упругом режиме. Часто представляет интерес и вопрос о концентрации напряжений в местах резкого изменения формы скручиваемого тела.
Первое исследование по кручению призматических стержней принадлежит Кулону [84], который в мемуаре, изданном в 1787 г. дал теорию кручения круглых призматических стержней. Согласно этой теории, поперечные сечения в круглых стержнях при кручении остаются плоскими
влияет на погрешность, а угол 9 нельзя выбирать равным Ав/2, так как в этом случае система линейных уравнений (1.58) вырождается. Кроме того, если среди лучей Е есть три, перпендикулярные сторонам треугольника, то полученное с помощью приближенного метода интегральных суперпозиций решение задачи (1.39) совпадает с точным. Отметим также, что полностью аналогичные результаты были получены и для задачи (1.40), которые по этой причине здесь не приводятся.
Эллиптическая область. Расположим эллипс на плоскости, как это показано на рис. 4, зададим углы ф- в соответствии с формулой (1.55), в качестве полюса выберем центр эллипса г о — (0,0). Разобьем границу области точками равномерно па 2 т частей. Параметр Да тогда будет определяться выражением
где а и Ъ — большая и малая полуоси эллипса. Определенный интеграл в
(1.70) есть четверть длины границы эллипса. Построим систему (1.58) и будем решать ее численно при различных значениях т.
Анализ влияния на погрешность параметров расчетной схемы будем проводить в той же последовательности, что и в предыдущем случае. Покажем, как зависит максимальная погрешность на границе от значений углов 9j. Так как Д9 = const, то будем изменять угол 9 от 0 до АО и вычислять приближенное решение (1.56) и его погрешность на Г. Результаты расчетов представлены на рис. 16 в виде графика зависимости десятичного логарифма 5U|г тах от значения угла 9 для a — 2, b — 1 и т = 50. При 91 = 0 погрешность 5U|г тах принимает минимальное значение порядка 10“82. С увеличением значения угла 9 точность решения (1.56) на границе области снижается, причем это изменение происходит в основном в малых окрестностях точек 9i = 0 и = Ав/2. Заметим, что для эллиптической области, в отличие от правильной треугольной, вырождения системы (1.58) при 01 = А9/2 не происходит. Погрешность 5С/]Гшах
(1.70)