Математическое моделирование бифуркационных переходов и формирования мультистабильности в системах с запаздывающими связями

• Автор: Балакин, Максим Игоревич
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 153 с. : ил.

Оглавление

Введение
Глава 1. Генератор с запаздывающей обратной связью. Возникновение мультистабильных состояний и их эволюция
1.1 Введение
1.2 Комплекс программ для численного простроения карт динамических режимов с учетом мультистабильности
1.3 Рассматриваемая модель
1.4 Устойчивость и бифуркации состояния равновесия системы. Условия возбуждения автоколебаний и их зависимость от времени запаздывания
1.5 Бифуркационный механизм формирования мультистабильности
1.6 Карта режимов. Эволюция мультистабильных состояний
1.7 Осциллятор Ландау - Стюарта с запаздывающей обратной связью
1.7.1 Рассматриваемая модель
1.7.2 Условия потери устойчивости и формирования мультистабильности
1.7.3 Бифуркационный механизм формирования мультистабильных состояний
1.7.4 Карта режимов с учетом мультистабильных состояний
1.8 Выводы к главе 1
Глава 2, Сложная динамика системы из двух связанных неидентичных осцилляторов Ланга-Кобаяши
2.1 Введение

2.2 Стационарные решения системы. Анализ условий возбуждения различных колебательных мод
2.3 Характерные колебательные режимы в системе
2.4 Характерные бифуркации в системе. Бифуркационная структура пространства параметров системы и особенности формирования мультистабильности
2.5 Выводы к главе
Глава 3. Влияние запаздывания в канале связи на эффекты синхронизации, мультистабильности и гашения колебаний в двух
взаимодействующих генераторах с инерционной нелинейностью
3.1 Введение
3.2 Исследуемая система двух генераторов с запаздывающей связью
3.3 Бифуркационные переходы и особенности формирования мультистабильности в конечномерной системе
3.4 Изменение бифуркационной структуры основной области синхронизации при увеличении запаздывания в канале связи (конечномерная модель)
3.5 Бифуркационные переходы и особенности формирования мультистабильности в системе с запаздыванием
3.6 Выводы к главе
Заключение
Благодарности
Список литературы
Приложение А. Реализация модифицированного метода Рунге-
Кутта 4 порядка в среде разработки Microsoft Visual Studio

Введение

Актуальность работы. Автоколебательные системы с запаздыванием играют большую роль во многих областях науки и техники: радиофизике, нелинейной оптике, биологии, медицине, экономике, статистике [1]
- [5].
Эффективным средством анализа систем с запаздыванием является применение математических моделей в сочетании с методами нелинейной динамики: построением фазовых портретов и спектров, анализом характеристических уравнений, расчетом мультипликаторов и использованием бифуркационного анализа.
Активное изучение математических моделей систем с запаздыванием начинается с 30-50 годов прошлого века в связи с их существенной ролью в самых различных областях науки и техники. Например, с запаздыванием приходится сталкиваться в системах автоматического регулирования технологических процессов, связанных с переносом материала и тепла [6] - [8]. Запаздывание появляется в сложных системах автоматического управления из-за конечного времени обработки информации и принятия решений в логических устройствах. Запаздывание также встречается в системах, имеющих отношение к биологии, медицине (процессы размножения, распространения эпидемий), экономике, статистике и т.Д.( [9] - [13]).
Среди всех систем с временным запаздыванием в отдельную важную группу следует выделить генераторы с запаздывающей обратной связью (ЗОС). В одних случаях запаздывание обусловлено самой конструкцией генератора и принципом его работы (клистроны, магнетроны), в других же запаздывание вводится специально для получения колебаний с необходимыми параметрами. Важную роль генераторы ЗОС играют в радиофизике, особенно в области генерации свервысокочастотного (СВЧ)

через ноль. Точка Р превращается в седло с четырехмерным неустойчивым многообразием, а в ее окрестности рождается седловой цикл Сз с двумерным неустойчивым многообразием. При пересечении Ь в фазовом пространстве появляется еще один седловой цикл (С4) с четырехмерным неустойчивым многообразием. Структура фазового пространства существенно усложняется, в окрестности неподвижной точки рождаются новые и новые седловые предельные циклы.
При движении по плоскости управляющих параметров каждый из них в результате определенных бифуркаций может стать устойчивым. Например, седловой цикл Сз выше бифуркационного значения 63 рождается с двумерным неустойчивым многообразием. При пересечении точки Ъ он претерпевает субкритическую бифуркацию Неймарка - Сакера и становится устойчивым. Седловой цикл С1 за точкой //} имеет четырехмерное неустойчивое многообразие. С увеличением параметра он приобретает устойчивость в результате последовательности двух субкритических бифуркаций Неймарка - Сакера. Выше точки он превращается в седловой цикл с двумерным неустойчивым многообразием и при пересечении точки 63 становится устойчивым.
Рождение устойчивых сосуществующих предельных циклов в фазовом пространстве системы происходит и при уменьшении времени задержки Тс! в цепи обратной связи. На плоскости управляющих параметров (рис. 1.4) со стороны больших задержек рождение Со из неподвижной точки происходит на правой ветви линии суперкритической бифуркации Андронова - Хопфа !гпН. По мере уменьшения этот цикл становится устойчивым при пересечении бифуркационной линии 1п3. Однако, прежде чем стать устойчивым, при движении по параметрам между линиями и 1';13 он претерпевает целый каскад бифуркаций. Они представлены точками на диаграмме рис. 1.5. При из неподвижной точки рождается седловой предельный цикл с восьмимерным неустойчивым многообрази-