Новые точные решения в матричных и статистических моделях

• Автор: Шакиров, Шамиль Ринатович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 99 с.

Содержание
1 Введение
1.1 Общая характеристика
1.2 Цель диссертационной работы
1.3 Результаты и положения, выносимые на защиту
1.4 Научная новизна и практическая ценность
1.5 Апробация диссертации
1.6 Публикации автора по теме диссертации
1.7 Структура и содержание диссертации
1.8 Благодарности
2 Точные корреляционные функции в Эрмитовой модели
2.1 Эрмитова матричная модель
2.1.1 Общие свойства эрмитовой модели
2.1.2 Условия Вирасоро
2.1.3 Интегрируемость
2.1.4 1-точечные корреляторы
2.1.5 2-точечные корреляторы
2.2 Корреляционные функции
2.3 Корреляционные функции типа Харера-Цагира
2.3.1 1-точечная функция
2.3.2 2-точечная функция
2.3.3 3-точечная функция
2.4 Экспоненциальные корреляционные функции
2.4.1 Рекурсивные соотношения
2.4.2 Детерминантная формула
2.4.3 Ортогональные полиномы
2.4.4 Локальная мера
2.4.5 1,2.3-точечные функции при фиксированном N
2.4.6 Универсальные 1,2,3-точечные функции

2.5 Стандартные корреляционные функции
2.5.1 Разложение по роду
2.5.2 1-точечная функция
2.5.3 2-точечная функция
3 Средняя энергия 2мерного Дайсоновского газа
3.1 Двумерный Дайсоновский газ
3.2 Статсумма
3.3 Средняя энергия
3.4 Термодинамическое разложение средней энергии
4 Вычисление потенциала в модели Гурвица
4.1 Модель Гурвица
4.2 Приближенный матричный интеграл
4.3 Поправки
4.4 Точный матричный интеграл
5 Заключение •

1 Введение
1.1 Общая характеристика
Диссертация посвящена построению и изучению точных решений в статистических моделях. Рассматриваются системы (статистические ансамбли) из N частиц, которые взаимодействуют друг с другом с заданной потенциальной энергией взаимодействия и(хг,..., хдг), где координаты частиц. Физически интересными величинами в таких моделях
являются любые статистические средние вида
такие, как среднее положение частиц дисперсия — (xj , средняя энергия (UJ и т.д. Как правило, точное вычисление средних (также называемых корреляторами) является сложной задачей: для этого не существует универсальных математических методов, за исключением тех простейших случаев, когда потенциал U[x 1,..., Xn) квадратичен (Гауссов). По этой причине для изучения статистических средних применяются различные приближения: например, термодинамический предел (предел больших N) или квазиклас-сическое приближение (предел малых h для U н-» U/h).
В некоторых случаях, используя специфические для конкретной модели методики и приемы, удается вычислить точно некоторый коррелятор или целое семейство корреляторов. Такие точные решения, естественно, позволяют получить о модели больше информации, нежели любые приближенные, и в этом состоит их ценность. Кроме этого, точные вычисления статистических интегралов вида (1) могут содержать в себе новые математические идеи и поэтому представляют интерес также с точки зрения чистой математики.

с нормировочной постоянной

<р(А;я) 1_Л(1_А)_(1 + Л)а;

Таким образом, корреляционная функция Харера-Цагира <р(А; х) может быть получена как решение линейного дифференциального уравнения первого порядка от двух переменных Л и ж. Заметим, что универсальная корреляционная функция, которая зависит от Л и содержит в себе информацию о всех размерностях N, оказывается весьма похожа на N = 1 корреляционную функцию: а именно, они связаны мультипликативным преобразованием
Само по себе это свойство неудивительно, поскольку мы имеем дело с одноточечными корреляторами, которые довольно просты. Интересно, что это свойство имеет буквальный аналог в двухточечном случае, см. (76) ниже.
2.3.2 2-точечная функция
Для двухточечных корреляторов, можно ввести две различные производящие функции
(1-Л)^-

В терминах этих функций, уравнение (50) становится системой двух уравнений:
N ХуЩ-уХУ *~ЛХ'У)