Оптимальное по быстродействию управление динамическим объектом посредством ограниченной силы

• Автор: Кошелев, Александр Петрович
• Шифр специальности: 01.02.01
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 90 с. : ил.

Глава 1. Постановка задачи и исследование особенностей
1.1 Постановка задачи
1.2 Частный случай: Уо = Vf
1.3 Кусочно-постоянное и постоянное управления
1.4 Особенности решения задачи принципа максимума
1.5 Полученные результаты
Глава 2. Решение задачи в многомерном случае
2.1 Частный случай: XQ~Xf

2.2 Частный случай: г>о = О
2.3 Вариация величины и направления скорости
2.4 Вариация величины и направления радиус-вектора
2.5 Полученные результаты
Заключение
Список литературы

Многомерные задачи возникают в различных приложениях теории оптимального управления и теории дифференциальных игр. Их решение весьма затруднено большим количеством параметров, от которых зависят искомые величины, сложностью решения систем нелинейных дифференциальных уравнений, трудностью представления и интерпретации полученных результатов.
При решении возникает необходимость исследовать искомые величины при изменении заданных параметров, что приводит к большому количеству частных случаев, подлежащих учету, и большим вычислительным трудностям. По этой причине до недавнего времени эти задачи не могли быть решены вследствие отсутствия соответствующих вычислительных мощностей, а рассматривались лишь для небольшого количества параметров или при дополнительных упрощающих предположениях.
Среди задач этого типа можно выделить задачи оптимального управления [22, 48, 49, 58, 59, 71]. В них некоторая величина должна удовлетворять заданному интегральному или терминальному функционалу, который минимизируется или максимизируется. Наиболее распространенными с точки зрения практического применения являются задачи предельного быстродействия, то есть управления за минимальное время. Решению этих задач посвящено большое количество работ [3-14, 20-22, 25, 38, 40-49, 55-59, 70-72, 78, 79, 81-84].
Первоначально для решения задач оптимального управления использовались методы вариационного исчисления [22-24, 34, 36, 53, 58, 65, 66], а также различные методы, основанные на интерпретации условий задачи, метод фазового пространства [78].

Существенное развитие методов решения задач оптимального управления стало возможным после создания метода динамического программирования [19] и принципа максимума Л.С. Понтрягина [71].
На основе метода динамического программирования, созданы методы решения задач оптимального управления, основанные на вариации в пространстве состояний системы, доставляющие максимум гамильтониану по выбранной управляющей функции [1, 19, 24, 64, 77, 82]. Другая группа методов основана на аппроксимации области ограничения управления посредством выпуклых многогранников [24, 77, 82].
Принцип максимума позволил свести решение задачи оптимального управления к решению системы дифференциальных уравнений [21, 62, 71, 77, 82]. Если уравнения в сопряженных переменных удается проинтегрировать в аналитической форме, то решение задачи сводится к численному решению системы нелинейных уравнений [24, 26, 77, 82]. В противном случае, использовалась разностная аппроксимация системы уравнений в сопряженных переменных. В [32, 33, 75, 77] для решения задачи были использованы различные численные методы, основанные на применении разностных схем и различных аппроксимаций множества искомых параме-тров.Для решения задач оптимального управления применялся также метод усреднения [2, 79, 81] и метод малого параметра [3, 16, 20, 37].
Если задача не решается в общей постановке, то иногда целесообразно рассматривать частные случаи, основанные на упрощении (приближении) функционала или условий окончания процесса. Хорошо известны решения задач с нефиксированной финальной скоростью или финальным положением [3, 21, 22, 48, 58, 59]. В работах [5, 49, 58, 59, 71] рассмотрены случаи одномерного движения с учетом воздействия различных внешних сил
В финальной точке
х0 = -Л^(£/)£ - Хфф)г/.
Рассмотрим движение из финальной точки в начальную. Уравнение при £ = £/—£' имеет вид
х(Ь - О = -«/(*/ - О + + *»?(*/ - о»?-
Направление радиус-вектора в точках £ = ф — // и £ — ф также будут совпадать
^0/ ~ О = ®01 = ~ О + ~ + М/ ~ ^ (2 8)
х2{Ь/ - £') т02 -и/г(*/ - £') + Х{(£/ - ^)6 + Уч(£/ - £')д>'
Из (2.7) и (2.8) следует, что Хо и Vf коллинеарны, движение одномерно. Противоречие. Аналогично доказывается, что нет пересечений со стороной угла, образован- ной направлением противоположном финальной скорости.
Непрерывное управление и(1) представляет собой вектор, поворачивающийся либо по часовой, либо против часовой стрелки, на некоторый угол /3' < 7г, поэтому направление радиус-вектора /3(1;) - будет монотонной функцией на интервале £ е (0,ф).Утверждение доказано.
Рассмотрим графики оптимальных траекторий, изображенные на рис. 16, 17. Траектории находятся в угле, образованном направлением начального радиус-вектора и направлением противоположном финальной скорости. Функция /?(£) монотонна на интервале £ € (0,£/).
Рассмотрим зависимость tf(|3), представленную на рис. 18, 19.
При /? Е (0, 7г/2) и |т0| £ [0, |т*|] на рис. 18, 19 имеет место область, аналогично случаю то = х/, в которой пересекаются любые две кривые причем в точке пересечения большей скорости соответствует торможение в начальный момент времени, а меньшей - разгон. Правее точки пересечения большей скорости соответствует большее время, а меньшей скорости - мень-