+
Действующая цена700 499 руб.
Товаров:
На сумму:

Электронная библиотека диссертаций

Доставка любой диссертации в формате PDF и WORD за 499 руб. на e-mail - 20 мин. 800 000 наименований диссертаций и авторефератов. Все авторефераты диссертаций - БЕСПЛАТНО

Расширенный поиск

Ориентированная и 2-дистанционная раскраски плоских графов с заданным обхватом

  • Автор:

    Иванова, Анна Олеговна

  • Шифр специальности:

    01.01.09

  • Научная степень:

    Кандидатская

  • Год защиты:

    2006

  • Место защиты:

    Новосибирск

  • Количество страниц:

    79 с. : ил.

  • Стоимость:

    700 р.

    499 руб.

до окончания действия скидки
00
00
00
00
+
Наш сайт выгодно отличается тем что при покупке, кроме PDF версии Вы в подарок получаете работу преобразованную в WORD - документ и это предоставляет качественно другие возможности при работе с документом
Страницы оглавления работы

1. Общая характеристика работы
2. Основные понятия и обозначения
3. Обзор результатов диссертации
1. Ориентированные раскраски
1.1. Обзор и обсуждение результатов главы
1.2. Связь с круговыми раскрасками и алгебраическими потоками
1.3. Доказательство теоремы 1
1.3.1. Свойства гомоморфизмов в С(5; 1,2)
1.3.2. Основные структурные свойства минимального контрпримера
1.3.3. Завершение доказательства теоремы
1.4. Доказательство теоремы 1
1.4.1. Структурные свойства минимального контрпримера
1.4.2. Завершение доказательства теоремы
1.5. Доказательство теоремы 1
1.5.1. Свойства гомоморфизмов в Р(47)
1.5.2. Структурные свойства минимального контрпримера
1.5.3. Завершение доказательства теоремы
2. 2-дистанционная раскраска
2.1. Обзор и обсуждение результатов главы
2.2. Доказательство теоремы 2
2.2.1. Случай Д(О)
2.2.2. Случай д
2.3. Доказательство теоремы 2
2.3.1. Структурные свойства минимального контрпримера
2.3.2. Завершение доказательства теоремы
Литература

1. Общая характеристика работы
Раскраска графа в широком смысле есть разбиение дискретного объекта на более простые подобъекты. Ввиду своей общности теория раскраски занимает в дискретной математике центральное положение и имеет многочисленные приложения, особенно в информатике (распределение памяти, диагностика ошибок в программах и т. д.), задаче назначения частот в мобильном телефонировании, в теории расписаний и др. Гомоморфизмы графов - более общее понятие, чем раскраска (действительно, задача классической вершинной раскраски есть не что иное, как гомоморфизм на полный граф), и в последнее время они интенсивно изучаются в самых разных аспектах.
Раскраска плоских графов также представляет собой широкую область исследования, выросшую из знаменитой проблемы четырех красок, решенной в 197G г. К. Аппелем и В. Хакеном [2, 3, 4], и в которой в настоящее время работают сотни специалистов.
Доказательство теоремы о четырех красках основано на построении неизбежной системы из почти полутора тысяч сводимых конфигураций. Другой пример того же рода — это построенная О.В. Бородиным (46, 5] система из примерно 450 сводимых конфигураций для доказательства того, что любой плоский граф является ациклически 5-раскрашиваемым (т. е. допускает такую правильную ракскраску в 5 цветов, что любой подграф, порожденный вершинами двух цветов, —- ациклический). Теорема О.В. Бородина об ациклической 5-раскраске включена во введении книги В.Тофта и Т. Йенсена [22] в число 40 важнейших результатов по раскраске графов за все годы. В последнее время в работах зарубежных математиков эта теорема получила ряд приложений к другим задачам раскраски. В главе "Плоские графы"этой книги цитируются более 20 результатов О.В. Бородина, A.B. Косточки, В.А. Аксенова и JI.C. Мельникова. Коллектив лаборатории теории графов Института математики СО РАН является одним из мировых лидеров именно в области раскраски плоских графов.
В диссертации изучаются ориентированная и 2-дистанционная раскраски разреженных плоских графов. В теории графов мерой разреженности графа G принято считать максимальную среднюю степень вершин, mad(G), всех его подграфов. Для плоских же графов разреженность обычно выражают в терминах обхвата g(G), т. е. длины минимального цикла. Нетрудно показать, что если граф G плоский, то mad(G) < ■ С другой стороны, в силу известной теоремы Эрдеша [14] о раскраске случайных графов, существует (неплоский) граф G, имеющий произвольно

большие д(0) и тас1{0). Часть результатов диссертации доказывается для произвольных разреженных графов, т. е. с использованием максимальной средней степени, а не обхвата.
Рассматриваемые в диссертации виды раскрасок занимают в теории графов заметное место. Первый из них исследуется с конца 70-х годов, а второй — с начала 90-х. Оба вида раскрасок привлекают интерес специалистов по теории графов как своей математической красотой, так и связями с другими видами раскрасок (ациклической, круговой, тотальной, реберной, (р, ^-раскраской и предписанной) и алгебраической теорией потоков.
Ориентированные раскраски сводятся к построению гомоморфизма широких классов ориентированных графов на специально подобранные орграфы (мишени) с небольшим числом вершин. Отметим, что классическая задача вершинной раскраски может рассматриваться как построение гомоморфизма заданного графа на наименьший полный граф Кп. Ориентированная раскраска иногда оказывается тесно связанной с другой задачей о гомоморфизме, круговой раскраской, в которой ищется гомоморфизм неориентированных графов на минимальный циркулянт. Другими словами, требуется раскрасить вершины заданного графа числами 0,1 к -1 так, чтобы цвета любых соседних вершин отличались на величину, ограниченную как снизу, так и сверху. Отметим, что в классической раскраске вершин ограничение сверху на расстояние между цветами соседних вершин отсутствует, а снизу равно 1, в то время как в (р, 0)-раскраске ограничение снизу равно р, а ограничение сверху также отсутствует.
За пределами теории графов интерес к 2-дистанционной раскраске объясняется тем, что и она сама и такие ее обобщения как (р, д)-раскраска и предписанная (р, Цель диссертационной работы состоит в получении новых результатов о раскрасках (ориентированных и 2-дистанционных) разреженных графов, в основном плоских, а также вспомогательных результатов о строении таких графов.
Работа носит теоретический характер; полученные результаты о 2-дистанционных раскрасках плоских графов имеют отношение к задачам, возникающим в мо-

Глава
2-дистанционная раскраска
2.1. Обзор и обсуждение результатов главы
Напомним, что раскраска / : Т(<7) -)• {1,2 к} графа (7 называется 2дистанционной, если любые две вершины, находящиеся на расстоянии не более 2, окрашены в различные цвета. Наименьшее число цветов в 2-дистанционных раскрасках графа Є называется 2-дистанционным хроматическим числом графа (7 и обозначается через Х2(<3).
В теории графов известна гипотеза Г. Вегнера [44] о том, что Хг( 8. Пример плоского мультиграфа, построенного К. Шенноном [37], показывает, что если верхняя оценка в гипотезе Вегнера верна, то она достижима. Наилучшей из опубликованных верхних оценок для произвольных плоских графов является ^ [|Д] +1 при Д > 47 ([48]).
Очевидно, что Хг(<3) > Д+1 для любого графа Є (ввиду того, что в любом графе есть звезда Лдд). Возникает вопрос: для каких графов 2-дистанционное хроматическое число равно этой тривиальной нижней оценке? К таким графам относятся, например, все деревья.
Легко видеть, что при А = 2 существуют графы с хг = 4 и произвольно большим обхватом, например, Сзк+г В [56, 49] нами показано, что при Д((7) ^ 3, если плоский граф б разрежен, т. е. его обхват при фиксированном Д достаточно велик, то Х2( Теорема 2.1. Пусть (7 — планарный граф. Тогда хг((?) = Д + 1 в каждом из следующих случаев:
(і) А = 3 и д > 24;
(и) Д ^ 15 и д
Здесь напомним, что к-репъ содержит ровно к вершин степени 2, а под (к к^)-вершиной понимается (/-вершина, инцидентная с/ различным цепям, где г-я цепь (1 ^ г < (1) содержит не менее кі вершин степени 2. Доказательство случая (і) основано на том, что в минимальном контрпримере нет: > 6 цепей, (5, 4, 1)-, (5, 3,2)-, (4, 4, 2)-, (4, 3, 3)-вершин, а также смежных (5,5,0)- и (5,4,0)-вершин.
В случае (й) описать строение минимального контрпримера труднее.

Рекомендуемые диссертации данного раздела

Название работыАвторДата защиты
О порождении монотонных функций из некоторых классов многозначной логики Панин, Дмитрий Юрьевич 2013
Экстремальные свойства дистанционных графов Рубанов, Олег Игоревич 2014
Анализ устойчивости некоторых классов нелинейных систем Комаров, Андрей Александрович 2004
Время генерации: 0.548, запросов: 967