Когомологии Хохшильда самоинъективных алгебр древесного типа Dn

• Автор: Волков, Юрий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 226 с.

Содержание
Содержание
Введение
Глава 1. Бимодульные резольвенты самоинъективных алгебр древесного типа Вп
1.1. Резольвенты простых модулей
1.2. Построение бимодульных резольвент с помощью леммы Хаппеля
1.3. Описание бимодульных резольвент
1.4. Доказательство теоремы о строении бимодульных резольвент
Глава 2. Вычисление аддитивной структуры алгебры когомологий Хохшильда для самоинъективных алгебр древесного типа Вп
2.1. Базисы пространств Ношл((53, Л)
2.2. Базисы пространств Кет <5®
2.3. Размерности 1ПГ(/>’)
Глава 3. Описание алгебры когомологий Хохшильда самоинъективных алгебр древесного типа Пп в терминах образующих с соотношениями
3.1. Вычисление трансляций
3.2. Описание 1т
3.3. Образующие и соотношения
3.4. Описание алгебры НН*(Д)
Список литературы
Приложение

Введение
Когомологии алгебр играют фундаментальную роль в теории представлений конечных групп и конечномерных алгебр. В настоящее время теория (обычных) когомологий групп - уже сложившаяся ветвь современной алгебры. Кольца когомологий групп исследовались различными авторами, и в этой области имеется множество результатов (см., например, [37]). Если 77 - базисная К-алгебра с радикалом Джекобсона ./д, то ЕхКалгебра £(77/,/д) называется алгеброй Ионеды алгебры 7? (определение ЕхГалгебры модуля см., например, в [35]). Алгебра Ионеды является естественным аналогом кольца когомологий групп.
В работах А. И. Генералова (см. [1, 2, 3, 15, 16, 17, 18, 20, 22, 23, 26, 30, 32, 50]) были вычислены алгебры Ионеды для некоторых серий алгебр ди-эдрального или полудиэдрального типа из классификации К. Эрдманн [45]. В некоторых из этих работ (см. [2, 3, 15, 30, 50]) используется диаграмный метод Бенсона-Карлсона [42] вместе с его техническими усовершенствованиями, развитыми в [2, 3]. В этом случае существенно используется возможность описания сизигий простых модулей с помощью так называемых диаграмм. Такая возможность имеется не всегда, и в связи с этим в [16] был предложен иной подход. Его существо составляет то, что на. основе некоторых эмпирических наблюдений выдвигается гипотеза о строении минимальных проективных резольвент простых модулей, и после их обоснования “когомологическая информация” считывается с найденных резольвент, что приводит к описанию алгебр Йонеды рассматриваемых алгебр.
Теперь определим когомологии Хохшильда. Для К-алгебры 7? рассмотрим обёртывающую алгебру А = 7? <8>д 77ор. Тогда п-ая группа когомологий Хохшильда алгебры 77 с коэффициентами в 77-бимодуле М определяется следующим образом: НН"(77, М) = Ех1д(77, М). Если М = 77, то мы используем

обозначение ННДЯ) = ННП(Я, Я). На линейном пространстве НН*(Я) = 0 НН"(Я) = 0 Ех(Я, Я)
пО пО
можно ввести и-произведение, относительно которого оно становится ассоциативной Я-алгсброй (см. [33, Гл. XI], [44, §5], [51]). Эту алгебру называют алгеброй когомологий Хохшильда. Известно, что и-нроизведение на НН*(Я) совпадает с произведением Йонеды на Ех1-алгебре 0П>О Ех1д(Я, Я) Л-модуля Я (см., например, [52]). Кроме того, как доказано в [51], НН*(Я) -градуированно коммутативная алгебра.
Хотя алгебра когомологий Хохшильда теоретически вычислима для конкретной алгебры через производные функторы, но реально вычисления для какого-либо класса алгебр по-прежнему актуальны и очень сложны.
В [19] А. И. Генералов дал описание алгебры НН*(Д) для алгебр диэд-рального тина из серии Я(3/С) над алгебраически замкнутым полем характеристики 2, при этом была использована техника, аналогичная использованной для вычисления алгебр Йонеды. Далее эта техника была с успехом применена в работах [21, 24, 25, 27, 28] для описания алгебры когомологий Хохшильда нескольких серий алгебр диэдрального, полудиэдрального и ква-тернионного типов. С помощью подобной техники алгебра когомологий Хохшильда для некоторых серий алгебр была вычислена в работах [31, 48, 49, 59].
Если Я - самоинъективная базисная алгебра над алгебраически замкнутым нолем, имеющая конечный тип представления, то её стабильный АГІ-колчан можно описать с помощью некоторого ассоциированного дерева, которое должно совпадать с одной из схем Дынкина Ап, Ип, Ев, Е1 или Е% (см. [57]). Так как алгебра когомологий Хохшильда - инвариант производной эквивалентности ([56]), то для её вычисления достаточно взять по одной алгебре для каждого класса производной эквивалентности. Так как для самоинъективных алгебр конечного типа, представления производная эквивалентность совпадает со стабильной (см. [55] и [39]), то достаточно взять по одному пред-

Мг+7п+2,т+1г+77г+1г+т+1,т+1 ® 2,72— 1 п—3—т
/г+т4-2,77г+1г+77г+1/г+т+1,2+т+1 ® /2+1,2—10г,п

/2+772+2,772+1/2+772+1,т(т2) ® /г+1,тг—3—т/г,п— 1 (Мг+77г+2,772+1/2+772+1,т(г2—1) & Дг+1,72—3—тРг,п— 1 Аг+т+2,т+1/5г+т+1,фт(п) ® Мг+1,п—3—тРг,п
Т 2+772+2,772+1 ® 'Т«+1,72—12+1,12,72—1)
г) Пусть 1 г г. Тогда
2771+12772+2 |Р[г+т+1,фт(п)][г,п-3-т] = 2т?2+1 (ег+т+1,0т(тг) ® 02,72-12
Ог+77г+1,т(7г) ® г,п—3—т) = Тг+т+Дт (72) 2+772+1,772+1 ® Ог,7г—1г,/г—2—772
+ Е Тг+?72+1,)т(7г)/г+77г+1,2+772+1 & Мг+1,2 —122,72—2—772 “I” 2+772+1 ,т(п)
® /г+1,72—3—77222,72—3—777, 02+772+1,0т(7г)/г+772+1,1 *2+772 ® 2
Ог+772+1,т(72—1) ® 2
<Тг+7/г+1,)Тп(7г) 2+772+1,772+1 & 02,72—12,
Ог+772+1,0т(72)2+772+1,2+772+1 ® /2+1,2 —1"г/2,72—3—772 = О,

2772+12777+2 |Р[г+т+1)т(п_1)][г п_3_т] 2772+1 (б2+772+1,т(т2-1) ® О»,722

'Тг+772+1,<т(7г— 1) ® 2,72-3—772 Т Ог+772+1,т(72—1)2 +772+1,2+772—(?2-3)

Л,2—1,71—3—771) /Тг+772+1,>7П(72—1) 2+772+1,777+1 & 02,722

+ Е Ог+77г+1,т(?2—1)2+772+1,2+772+1 ® /2+1,2 — 122,72—
Т 2+772+ 1,т(72—1) 2+772,1 2+772
2,72—3—772 02+772+1,т(72— 1) 2 +772,1 /-2+772,т(72—1) 2
Ог+772+1,0та(72—1)2+772+1,772+1 ® 02,72— 1 2,72— 3 — 772
Ог+77г+1,7П(72-1)г/2+77г+1,2+772+1 ® Мг+1,2—122,72—
Т (02+77г+1,т(тг—1)2+772,1/2 +772,0т(т2—1) 2