Моделирование строгих методов решения обратных двумерных задач акустического рассеяния

• Автор: Морозов, Сергей Александрович
• Шифр специальности: 01.04.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 194 с. : ил.

1. Введение
1.1. Актуальность темы и цели исследования. Структура диссертационной работы
1.2. Общее состояние проблемы (по материалам научных публикаций)
2. Метод Марченко-Ньютона-Роуза (МНР) для восстановления поля внутри рассеивателя
2.1. Основные уравнения алгоритма МНР
2.2. Численное моделирование алгоритма МНР
2.2.1. Схема алгоритма
2.2.2. Решение прямой задачи
2.2.3. Результаты численного моделирования алгоритма МНР
2.3. Неединственность решения на основе алгоритма МНР и попытка ее устранения
2.3.1. Причины неединственности
2.3.2. Использование дополнительных уравнений связи типа Липпмана-Швингера
2.3.3. Алгебраизация уравнений в терминах вторичных источников
2.3.4. Анализ результатов численного моделирования
2.4. Выводы
3. Точное решение обратной двумерной монохроматической задачи акустического рассеяния. Численное моделирование
3.1. Применение формализма комплексных волновых векторов к обратным задачам
3.2. Уравнения типа МНР в терминах обобщенных вторичных источников и данных рассеяния. Роль соотношения Сохоцкого для обеспечения единственности решения модифицированного алгоритма МНР
3.3. Алгоритм Новикова-Гриневича и его связь с соотношениями МНР. Описание и характерные особенности
3.4. Связь между амплитудой и фазой поля, рассеянного на точечной неоднородности
3.5. Восстановление рефракционных и поглощающих рассеивателей различного контраста. Помехоустойчивость решения
3.5.1. Восстановление алгоритмом Новикова-Гриневича
3.5.2. Восстановление модифицированным алгоритмом МНР
3.6. Моделирование данных рассеяния для сильных рассеивателей
из соотношения унитарности
3.7. Высокочастотные составляющие пространственных спектров рассеивателя и его вторичных источников как дополнительные помехи

3.8. Восстановление тонкой структуры акустического рассеивателя
на крупномасштабном контрастном фоне
3.9. Выводы
4. Основные результаты и выводы
Литература
1. ВВЕДЕНИЕ
Работа посвящена модельной реализации строгих функционально-аналитических алгоритмов решения обратной задачи рассеяния, развивавшихся рядом авторов для решения задач квантово-механического рассеяния. Эти методы гораздо более перспективны, чем итерационные. Однако в настоящее время они находятся в стадии развития. Вопрос о возможности их применения в прикладных обратных задачах разных направлений пока еще всерьез не исследовался. В представляемой диссертационной работе исследуются алгоритмы на базе уравнений Марченко-Ныотона-Роуза, а также двумерный алгоритм Новикова-Гриневича.
1.1. Актуальность темы и цели исследования. Структура диссертационной работы.
Актуальность темы
Теория обратных задач представляет собой активно развивающееся направление в современной математической физике и ее прикладных областях. Значительный интерес к акустическим обратным задачам рассеяния главным образом обусловлен необходимостью решения актуальных проблем медицинской диагностики, разработки акустических томографов, более безопасных, чем ренгеновские, и менее дорогостоящих, чем ЯМР-томографы. Кроме медицинских приложений, которым в последнее время посвящается все больший объем теоретических и экспериментальных исследований в различных областях науки и техники, актуальными являются обширные прикладные проблемы дефектоскопии, геоакустики и акустики океана.
В акустике под обратными задачами понимается восстановление источников звука или характеристик неоднородностей, рассеивающих первичное поле, на основе измерения первичного или рассеянного акустического поля. Исторически первые методы решения основывались на приближении однократного рассеяния (приближение Борна [87, 88, 89]) и плавного изменения характеристик рассеяния (приближение Рытова) [89]. Однако предположения, используемые в этих приближениях, накладывают серьезные ограничения на область их применимости. Необходимо подчеркнуть, что учет эффектов многократного рассеяния означает, что обратная задача рассеяния является не только некорректной, но и нелинейной относительно неизвестных функций. Один вариант решения обратных задач, учитывающий многократные рассеяния, - итерационный [28, 15, 29]. Положительная черта итерационного подхода состоит в том, что в нем можно использовать самые разные
50-

Рис.6. Значения полей (7 = 1.28 мс, у; х2,0) |^ц(/ = 1.28л1с;у;х2,0)
(сплошная тонкая линия) и
(сплошная толстая линия) в зависимости от
углового положения точки излучения; точка восстановления х2 = ( Л0,0) находится вне цилиндра.
2. Рассеивающий цилиндр с увеличенным контрастом фазовой скорости.
Ксу! ~ 0.75Х0, у = 1.5, набег фазы вдоль центрального сечения рассеивателя » -71.
Поле восстанавливается в точках х, = (0.5А,0,0) внутри цилиндра и х2 = (А,0,0) вне
цилиндра. Коэффициент регуляризации в системе (2.2.7) а = 10 6.
Рисунки 7-8 иллюстрируют результат восстановления поля во внутренней точке цилиндра х, = (0.5^о,0).