Соотношения высших порядков для супермногообразий Римана и Федосова

• Автор: Радченко, Ольга Васильевна
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 107 с.

Оглавление
Введение
1 Тензорный анализ на супермногообразиях
1.1 Алгебра и анализ с антикоммутирующими переменными
1.2 Супермногообразия
1.3 Тензорные поля на супермногообразиях
1.4 Ковариантная производная
1.5 Тензор кривизны(
2 Супермногообразия Римана
2.1 Определение и свойства римановых супермногообразий
2.2 Связность
2.3 Соотношения высших порядков в нормальных координатах
2.3.1 Аффинные расширения тензоров
2.3.2 Соотношения первого порядка
2.3.3 Соотношения второго порядка
2.3.4 Соотношения третьего порядка
2.4 Производящие функции соотношений высших порядков в
произвольных координатах
3 Супермногообразия Федосова
3.1 Определение супермногообразий Федосова

3.2 Симплектическая связность
3.3 Соотношения высших порядков в нормальных координатах
3.3.1 Соотношения первого порядка
3.3.2 Соотношения второго порядка
3.3.3 Соотношения третьего порядка
3.4 Производящие функции соотношений высших порядков в произвольных координатах
Заключение
Литература

Введение
Методы дифференциальной геометрии широко используются при формулировке физических теорий, как классических, так и квантовых, призванных описать все известные в настоящее время фундаментальные взаимодействия - электромагнитные, слабые, сильные и гравитационные [1-13]. В первую очередь, отметим решающую роль этих методов в формулировке общей теории относительности Эйнштейна - классической теории гравитационных взаимодействий, где основными объектами выступают многообразия, оснащенные метрическим тензором, с помощью которого описывается гравитационное поле, и симметричной связностью, которая согласована с данным метрическим тензором. Такие многообразия носят название многообразий Римана и их свойства хорошо изучены и изложены в большинстве современных монографий по дифференциальной геометрии [5,14-21]. Электромагнитные взаимодействия описываются абелевыми векторными полями в рамках классической или квантовой электродинамики на четырехмерном пространстве-времени с индефинитной метрикой - пространстве Минковского [22-28]. Для описания слабых и сильных взаимодействий привлекаются неабелевы калибровочные поля на пространствах Минковского в рамках теорий Янга-Миллса [29-41]. Общепринятый в настоящее время подход к описанию фундаментальных взаимодействий основан на использовании концепции калибровочных полей в рамках классической механики и квантовой теории поля.

По определению они обладают свойством обобщенной симметрии по нижним индексам:
Г,» = Гч(-1)‘». (1 59)
Аналогично, действие ковариантной производной на ковекторные поля Д дается соотношением:
Г.у. = (т171 )СС(-!уЛет) = (тк АСС(_1)еу(е<+вт)
1 3 ,п дхэ дхг дхш) дхп дх? дхг
— Ти(-1УЛт) ,
дхт ) дхп дх* дх*
дгТк дтх1 дгхп дгхк дгхш . /, , ч
_г—к _г г_ г г__/ _ /1 50)
дх1 дхп дх1 дхт дхг
= 616к + Тк д'*к дгХПдгхт( 1уЛи+т) =Ф.. + Ткук дх1 31 дхтдхп д& дх1 К ' 1,3 1з'
Используя первое из соотношений (1.25), несложно установить связь между 3 к И ]к-
Действительно, дифференцируя тождество
дгхг дгхр
дхР дхЗ
= 8
по хк, получаем:
дгх1 д1хр дх1 дТх! дтхр , , , ~.

дхр д&дхк дхрдх1 дхк д&
Следовательно,
Г]к = -Г*у*. (1-61)
И, учитывая полученное равенство, формула (1.60) перепишется в виде:
TiVj = Ti,j-TkГkij.