Квантовая механика с нелинейной суперсимметрией для одномерных эрмитовых и неэрмитовых гамильтонианов

• Автор: Соколов, Андрей Владимирович
• Шифр специальности: 01.04.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 131 с.

Оглавление
Введение
Глава I. Основные сведения о нелинейной суперсимметрии в
| ♦/ ,» I »
одномерной квантовой механике
§1. Основные обозначения и предположения
§2. О гладкости потенциалов и коэффициентов операторов спле-
тания
§3. Соотношение между суперзарядами и супергамильтонианом
в случае С>
§4. Минимизуемые и неминимизуемые операторы сплетания. Критерий минимизуемости
4.1. Определение (не)минимизуемости оператора сплетания
4.2. Критерий минимизуемости оператора сплетания
§5. Зависимые и независимые операторы сплетания
5.1. Определение (не)зависимости операторов сплетания
5.2. Критерий зависимости операторов сплетания
5.3. Следствия для операторов симметрии
5.4. Наибольшее количество независимых операторов сплетания
5.5. Оптимальный базис операторов сплетания
§6. Свойства антисимметричных операторов симметрии
6.1. Случай, когда гамильтониан имеет связанные состояния
6.2. Случай, когда гамильтониан имеет периодический потенциал
§7. Расширенная алгебра суперсимметрии
Глава Н. Теорема об индексах и спектральный дизайн для эрмитовых и неэрмитовых гамильтонианов
§1. Классы потенциалов Кп и К.п. Основные обозначения и предположения
§2. Оценки для потенциалов из класса К.п и для вспомогательных интегралов
§3. Асимптотики формальных собственных функций гамильтониана

§4. Асимптотики формальных присоединённых функций гамильтониана
§5. Инвариантность классов потенциалов Кп и К,п при сплета-
ниях
§6. Действие оператора сплетания на цепочку формальных присоединённых функций
§7. Инвариантные числовые характеристики канонического базиса ядра оператора сплетания
§8. Теорема об индексах и спектральный дизайн
§9. Пример недиагонализуемого гамильтониана, построенного с помощью методов суперсимметрии
Глава III. Факторизация нелинейной суперсимметрии в одномерной квантовой механике
§1. Классификация вещественно неприводимых СУСИ преобразований
§2. Теорема о приводимости операторов сплетания третьего порядка
2.1. Вывод системы уравнений относительно частных вронскианов
2.2. Параметрические формулы для частных вронскианов
2.3. О гладкости потенциалов и коэффициентов операторов сплетания
2.4. Параметрические формулы для коэффициентов операторов сплетания
2.5. Соотношения между параметризующей функцией и частными вронскианами
2.6. Оценка снизу для параметризующей функции
2.7. Теорема о приводимости операторов сплетания третьего порядка
§3. Класс потенциалов ЯКп
§4. Леммы о частичной приводимости операторов сплетания
§5. Теоремы о полной приводимости операторов сплетания
Заключение
Литература

Введение
Суперсимметричная квантовая механика (СУСИ КМ) возникла в задачах суперсимметричной теории поля [1] для описания таких сложных проблем как спонтанное нарушение суперсимметрии, свойства вакуума и т.д. [2, 3]. Впоследствии СУСИ КМ получила самостоятельное развитие как конструктивный метод нахождения новых квантовых систем с (почти) совпадающими спектральными характеристиками (изоспектральных систем) без использования методов теории возмущений [4] - [7] (см. также обзоры [8] - [12] и ссылки в них). В частности, алгебра суперсимметрии и её дифференциальная реализация в квантовой механике позволяют строить гамильтонианы с заданными спектром [13,14], данными рассеяния [15] - [19] или формой потенциала [20, 21], находить скрытые динамические симметрии [22] - [24], а также искать новые точно или почти точно [25, 26] решаемые задачи в квантовой механике [9] - [11], [22, 24], [27] - [32]. В последнее десятилетие значительный интерес вызвало обобщение стандартной СУСИ КМ на основе нелинейной (в частности, полиномиальной или У-образной (У-1оЫ)) алгебры суперсимметрии [33] - [45], которая является естественной формой реализации лестничной [13, 14] или цепной [46, 47] конструкций.
Одной из основных конструкций СУСИ КМ, обеспечивающей (почти) изоспектральность рассматриваемых в СУСИ КМ квантовых систем, являются преобразования Дарбу [48], использовавшиеся поначалу в математике [49] -[52]. Разложение гамильтониана в произведение дифференциальных операторов Дарбу первого порядка, из которого очевидным образом следуют простейшие преобразования Дарбу, можно найти в работе Шрёдингера [53, 54].
Конструкции суперсимметричной квантовой механики применимы как к эрмитовым гамильтонианам с вещественными потенциалами, так и к неэрмитовым гамильтонианам с комплексными потенциалами [55, 56]. Последние обычно используются для описания открытых систем с неполной информацией о влиянии окружающей среды. Такой вид эффективного описания применяется многие годы в физике конденсированных сред и квантовой оптике, а также в физике адронов и ядерной физике [57] - [61]. В последние годы интенсивно ведутся исследования по нестандартным представлениям квантовой механики таким как РТ-симметричная квантовая механика [62] - [68] и обобщающая её квантовая механика псевдоэрмитовых гамильтонианов [69, 70], в которых рассматриваются неэрмитовы гамильтонианы с вещественным спектром. Недавно были найдены интересные примеры неэрмитовых эффек-

ввиду невырожденности значений энергии Ej, j = 0, 1, 2, ... все волновые функции i]}j(x), j — 0,1,2
В силу того, что с одной стороны собственные числа самосопряжённых операторов вещественны, а с другой стороны все коэффициенты ге чисто мнимы и все функции 'ipj(x), j = 0, 1, 2, ... вещественнозначны, получаем, что эти функции принадлежат ядру е, а энергии Ej являются корнями многочлена Ре:
eifij = О, ЛС%) = 0 Pe(Ej)ipj = Pe(h)j = — е2, = 0, =0,1)2,
(1.76)
Таким образом, если гамильтониан h имеет ненулевой t-антисимметричный оператор симметрии, то энергии связанных состояний этого гамильтониана удовлетворяют алгебраическому уравнению (1.76).
Поскольку гамильтониан с неограниченно растущим при х —> +оо потенциалом имеет бесконечное число связанных состояний (см. [96]), а размерность ядра е конечна, постольку такой гамильтониан в силу сказанного выше не может иметь ненулевой t-антисимметричный оператор симметрии. Естественно предположить, что если у гамильтониана h, имеющего связанные состояния, существует ненулевой t-антисимметричный оператор симметрии, то потенциал этого гамильтониана стремится к постоянной по крайней мере на одной из бесконечностей, а на другой бесконечности либо также стремится к постоянной либо неограниченно возрастает. В оставшейся части этого пункта покажем, что из данного предположения при некоторых дополнительных предположениях технического характера можно сделать следующие выводы.
1) Потенциал V(x) гамильтониана h является безотражательным и стремится к одной и той же постоянной как при х —У +оо, так и при х —> — оо.
2) Алгебраическая кратность энергии любого связанного состояния h в спектре матрицы Т оператора е равна двум.
3) Гамильтониан h сплетается с гамильтонианом свободной частицы.
4) Волновая функция, соответствующая нижней границе непрерывного спектра h, принадлежит ядру е, а значение энергии Ес, отвечающее этой границе, входит в спектр матрицы Т оператора е с алгебраической кратностью один.
5) Спектр матрицы Т оператора е не содержит ничего кроме энергий связанных состояний гамильтониана h и энергии, соответствующей нижней границе непрерывного спектра h.
6) Если порядок оператора е равен N, то количество связанных состояний гамильтониана h равно (N — 1)/2.