Численно-аналитическое исследование проблемы Штурма-Лиувилля в задачах МДТТ

• Автор: Промыслова, Анна Сергеевна
• Шифр специальности: 01.02.06
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 108 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Классическая проблема Штурма-Лиувилля
1.1 Итерационные методы и оценки сходимости
1.1.1 Методы Рэлея-Ритца, конечно-разностный метод отыскания собственных значений
1.1.2 Метод ускоренной сходимости
1.1.3 Обобщенная краевая проблема Штурма-Лиувилля
1.2 Развитие метода ускоренной сходимости на задачи с комплексными коэффициентами
1.2.1 Граничные условия первого рода
1.2.2 Граничные условия третьего рода
1.3 Тестовые примеры
1.3.1 Задача о колебаниях струны
1.3.2 Задача с нелинейным вхождением собственного значения
1.3.3 Задача с неизвестным аналитическим решением
1.3.4 Задачи с комплексными коэффициентами
2 Продольные и крутильные колебания в концентраторах напряжений и скоростей
2.1 Постановки задач с краевыми условиями первого и второго рода
2.1.1 Постановки задач с краевыми условиями первого и второго
рода для продольных колебаний
2.1.2 Постановки задач с краевыми условиями первого и второго
рода для крутильных колебаний

2.2 Аналитические решения задач о концентраторах
2.2.1 Конический концентратор
2.2.2 Экспоненциальный концентратор
2.2.3 Катеноидальный концентратор
2.3 Численное решение прямых задач при различном выборе формы
концентратора
2.3.1 Коэффициент усиления в случае граничных условий первого рода
2.3.2 Коэффициент усиления в случае граничных условий второго рода
2.3.3 Колебательная скорость и скорость деформаций в случае граничных условий первого рода
2.3.4 Колебательная скорость и скорость деформаций в случае граничных условий второго рода
3 Обобщенная задача Рэлея об устойчивости сдвигового течения идеальнопластического слоя
3.1 Основные свойства задачи Рэлея
3.2 Обобщенная задача Рэлея
3.2.1 Интегральная оценка устойчивости
3.2.2 Возмущение собственного числа
Заключение
Литература

Введение
1. Предметная область.
Диссертация посвящена разработке численно-аналитических методов решения проблемы Штурма-Лиувилля в задачах МДТТ. Проблема нахождения собственных значений возникает во многих задачах, встречающихся в различных областях механики и физики, поэтому присутствует необходимость в разработке новых численно-аналитических методов решения задач такого типа.
Существуют различные методы в теории задач на собственные значения. Три важнейшие из них используют дифференциальные уравнения, интегральные уравнения и вариационное исчисление.
Каждый из этих методов имеет свои особые преимущества [35]. Классическая теория интегральных уравнений Фредгольма, Гильберта и др. с одинаковым успехом приводит к цели как в случае обыкновенных дифференциальных уравнений, так и в случае уравнений с частными производными. Трудности при этом переносятся на предварительную стадию, а именно на составление уравнений. В теории предполагается существование функции Грина, а следовательно, и ядра интегрального уравнения, но на вопрос о существовании решения эта теория в общем виде ответа не дает.
Вариационное исчисление использует минимальные свойства собственных значений. В этом случае дифференциальные уравнения и краевые условия выступают в качестве необходимых условий Эйлера для минимума. Эти минимальные свойства являются основой для численного решения задач на собственные значения.
Метод дифференциальных уравнений, согласно Камке [30], является наиболее эффективным для обыкновенных дифференциальных уравнений. В случае

В результате получено простое в вычислительном аспекте выражение для уточненного (с погрешностью О (г2)) собственного значения Л:
|А — Л(1>| < Се2
Далее используем внось соотношения (1.1.45), (1.1.58), (1.1.60) для построения уточненного значения Л на основе найденного А* и рассматриваемого как начальное приближение (аналогично А0).
На основе формул (1.1.45), (1.1.58), (1.1.60) строится рекуррентная процедура приближенного решения задачи (1.1.43), обладающая ускоренной сходимостью к точным значениям Ах, щ{х). Уточняющую последовательность чисел А]* £,% и функций (ж, А), г = 0,1
Л1<+1) = А? - рур Ь(6)& («М)(6, А!0))2 + (А«г(6) - ?(6))«?0(Ь)]
& = ттах Е(х, А) > 0 ‘ Е{х, А) = о>1р(х)у'{х, А) + Ру{х, А)
~ 1 ~ &
Ы < й|А — А| < А7е£_1,
(1.1.61)
Из (1.1.61) следует, что скорость сходимости итераций весьма высокая . Она имеет квадратичный порядок по г.
Ы <{с1С)-1(е<1С)в®, в(г) = 2{ г = 0,1,2
Из (1.1.62) следует, что несколько итераций приводят к высокоточным оценкам числа А и функции и. Рекуррентная процедура уточнения (1.1.61) может быть применена к нахождению последующих собственных чисел Хп и функций ил(х), п> 2.
1.1.3 Обобщенная краевая проблема Штурма-Лиувилля
Исследуется задача конструктивного определения формы и частот колебаний распределенных систем с существенно изменяющимися параметрами. В отличие от классического случая самосопряженной задачи допускается произвольная