Волновые движения жидкости в сложных областях с учетом вращения

• Автор: Иванов, Михаил Игоревич
• Шифр специальности: 01.02.05
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 111 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
Глава I. Сейши в плоских бассейнах. Основные уравнения и точные решения
1. Основные уравнения задачи
2. Точные решения
Глава 2. Исследование сейшевых колебаний в бассейнах различной формы
1. Построение численного алгоритма
2. Конформное отображение. Бассейны
3. Классификация мод невращающихся бассейнов. Расщепление собственных частот
4. Влияние геометрии бассейна на собственные частоты
5. Характерные моды невращающихся бассейнов
6. Вращение
7. Разложение волнового поля вблизи амфидромической точки
Глава 3. Приливное уравнение Лапласа, волны Гаурвица и формула Хафа
1. Вывод приливного уравнения Лапласа
2. Волны Гаурвица
3. Формула Хафа
Глава 4. Интегрирование приливного уравнения Лапласа. Функции Хафа
1. Интегрирование задачи на собственные значения
2. Частоты и моды для небольших гироскопических чисел
3. Волны для больших гироскопических чисел
4. Отрицательные гироскопические числа
Заключение
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Актуальность проблемы. Анализ метеорологических, океанологических и пр. данных показывает, что главенствующую роль в крупномасштабных процессах в атмосфере и гидросфере играют периодические процессы, важнейшим классом которых являются собственные колебания. Исследование таких колебаний представляет значительную сложность в связи как с большим числом воздействующих факторов (сила тяжести, центробежная и кориолисовы силы, сферическая геометрия Земли или исследуемой планеты и др.), так и с непотен-циальностью изучаемых течений. В связи с этим посвящённые данной теме работы хотя и многочисленны, но большей частью фрагментарны, а некоторые важные вопросы и вовсе не освещены. Необходимо также отметить, что с исследуемыми задачами тесно связана задача об океанских и атмосферных приливах, имеющая многочисленные приложения в геофизике, метеорологии, океанологии и т.д.
Первая часть диссертации (гл. 1-2) посвящена решению задачи о собственных гармонических колебаниях поверхности жидкости, заключённой в плоском бассейне (т.е. таком, в котором поверхность невозмущённой жидкости имеет нулевую кривизну). Изучение таких колебаний привлекало внимание многих исследователей в связи с задачей о сейшах в озёрах и внутренних морях, а также задачей о приливах. В зависимости от периода сейши производится учёт или неучёт вращения Земли. Для простейших форм бассейнов (круг, круговое кольцо) имеется аналитическое решение [25, 31, 32, 34]. Решение выражается через цилиндрические функции. Для эллиптического бассейна точное решение существует только при отсутствии вращения [2, 26, 31, 32, 49, 50, 64-66]. Решение даётся функциями Матъе. Сейши в эллиптических бассейнах при наличии вращения исследовались в [51, 52], причём проводилось сравнение аналитических результатов с экспериментальными, полученными автором ста-

тьи в лаборатории Л. Прандтля в Гёттингене. Также исследовались прямоугольные [40, 47, 55, 58, 95, 98] и полукруглые бассейны [45, 97]. Некоторые работы были посвящены исследованию сейш в бассейнах, имеющих форму правильного п-угольника [102] или кругового сектора [95]. Праудменом были исследованы сейши в почти круглом бассейне [96].
Значительное число работ посвящено численному исследованию сейш и приливных волн в реальных акваториях, таких как озеро Байкал [54], Красное море [53], Чёрное море [97], Мексиканский залив [92], Великие озёра в Северной Америке [56, 92, 94, 99, 100], Каспийское море [27] и др.
Отдельно следует выделить исследования, касающиеся особенностей гармонического волнового течения, не зависящего от формы контура бассейна. В литературе были рассмотрены амфидромические точки [87] (точки нулевой амплитуды гармонических колебаний) и фазовые сёдла [89]. Исследованию спектра задачи о сейшах с позиции теории дифференциальных уравнений в частных производных была посвящена работа Рохлина [28].
Также изучались бассейны непостоянной глубины. Были получены решения для бассейна, имеющего форму параболической чаши (параболоида вращения) [25], полукруглого бассейна с таким же законом изменения глубины (половина параболоида вращения) [45] и эллиптического параболоида [37, 38, 63]. В случае, когда глубина бассейна не является постоянной, в нём существуют гармонические колебания с периодом большим, чем период вращения самого бассейна, называемые топографическими волнами Россби.
Из приведённого обзора можно видеть, что в настоящее время в гидродинамике имеется разрыв между бассейнами простой конфигурации (круговой, кольцеобразный, прямоугольный) и бассейнами, аппроксимирующими реальные асимметричные акватории с их сложной береговой линией.
Вторая часть диссертации (гл. 3-4) посвящена решению приливного уравнения Лапласа. В 1775 году при исследовании динамических приливов Лаплас получил дифференциальное уравнение, описывающее собственные гармонические колебания тонкого слоя жидкости, покрывающего вращающийся шар, в
гую поворотом бассейна, а их карты изовысотных линий получаются одна из другой зеркальным отражением (фиг. 3,в).
Однако в случае ненулевой угловой скорости вращения бассейна асимметрия этих мод утрачивается. В частности, линии равных амплитуд прилива имеют т осей симметрии (фиг. 4).
Рассмотрим пары волн, у которых расщеплены собственные частоты. Косинусоидальные моды Ст в невращающихся бассейнах с т осями симметрии имеют т непересекающихся узловых линий, сходных с гиперболами, и, следовательно, в центре бассейна амплитуда прилива не равна нулю (фиг. 5,а). Это приводит к тому, что соответствующие моды вращающихся бассейнов имеют т амфидромических точек, симметрично расположенных вокруг геометрического центра бассейна (фиг. 5,6). Таким образом, данные моды (фиг. 5,в) приобретают значительное сходство с модой Е1, особенно сильное для случая вращающихся бассейнов.
Рассмотрим случай, когда индекс моды т не равен числу осей симметрии бассейна, но имеет с ним общий делитель, не равный единице. Здесь собственные частоты расщепляются, однако косинусоидальная мода Ст имеет совсем иной вид, чем в случае совпадения числа т с числом осей симметрии бассейна, так как её узловые линии пересекаются в центре бассейна и образуют прямой крест (фиг. 6,а,б).