Неоднородные разностные схемы повышенного порядка точности для численного решения некоторых задач математической физики

• Автор: Быкова, Елена Геннадьевна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Красноярск
• Количество страниц: 115 с. : ил.

СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. НЕОДНОРОДНЫЕ РАЗНОСТНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ВТОРОГО ПОРЯДКА
1Л. Схема четвертого порядка точности
1.1 Л. Краевая задача и ее неоднородная разностная аппроксимация
1.1.2. Устойчивость и разрешимость сеточной задачи
1.1.3. Сходимость неоднородной разностной схемы
1.1.4. Численные примеры
1.2. Схема шестого порядка точности
1.2.1. Краевая задача и ее неоднородная разностная аппроксимация
1.2.2. Устойчивость и разрешимость сеточной задачи
1.2.3. Сходимость неоднородной разностной схемы
1.2.4. Численные примеры
1.3. Обсуждение результатов и возможные пути обобщения
ГЛАВА 2. НЕОДНОРОДНЫЕ СХЕМЫ ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА
2.1. Постановка задачи и гладкость решения
2.2. Численное решение задачи Дирихле на прямоугольнике
2.2.1. Краевая задача и ее неоднородная разностная аппроксимация
2.2.2. Устойчивость и разрешимость сеточной задачи
2.2.3. Сходимость неоднородной разностной схемы
2.2.4. Численные примеры

2.3. Численное решение задачи Дирихле в области с гладкой границей
2.3.1. Построение разностной сетки и классификация ее узлов
2.3.2. Интерполяционная формула Лагранжа
2.3.3. Построение разностной аппроксимации
2.3.4. Устойчивость, разрешимость и сходимость сеточной задачи
2.3.5. Численные примеры
2.4. Неоднородная схема для квазилинейного уравнения эллиптического типа
2.4.1. Краевая задача и ее неоднородная разностная аппроксимация
2.4.2. Устойчивость и разрешимость сеточной задачи
2.4.3. Сходимость неоднородной разностной схемы
ГЛАВА 3. НЕОДНОРОДНАЯ СХЕМА ДЛЯ ЧИСЛЕННОГО РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
3.1. Постановка задачи и вопросы гладкости решения
3.2. Дискретизация задачи по пространству
3.2.1. Устойчивость и разрешимость сеточной задачи
3.2.2. Сходимость неоднородной разностной схемы
3.3. Программная реализация на ЭВМ, вычислительные эксперименты и обсуждение результатов
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Список литературы
ВВЕДЕНИЕ
Потребность в решении задач математической физики с высокой степенью точности не убывает несмотря на рост быстродействия ЭВМ. Сложность математических моделей, возникающих на практике, опережает развитие вычислительной техники, что в свою очередь, приводит к возрастающим требованиям к методам решений. На первый план выдвигаются наиболее экономичные методы решения задач. В этой связи актуальность схем повышенной точности не вызывает сомнения, поскольку они позволяют получить прближенное решение с заданной точностью при меньших вычислительных затратах.
Пути повышения точности приближенных решений задач математической физики обсуждаются в нескольких направлениях. Это и простейший прием повышения точности разностных схем пропорциональным уменьшением интервалов дискретизации дифференциальных задач, это использование многоточечных разностных схем и уточнение разностями высоких порядков, это экстраполяционный метод Ричардсона, использующий решение задач на последовательности сеток [3], и многое другое.
Построенные в работе схемы относятся к классу компактных разностных схем. Компактными [29] принято называть разностные схемы, которые имеют повышенный порядок аппроксимации, но записываются на шаблоне, несущественно отличающемся от традиционного для данного уравнения. Обычно это схемы третьего или четвертого порядка аппроксимации, щаблон которых представляет собой т-мерный параллелепипед с размерами ребер в два пространственных шага по каждому из т координатных направлений, называемый иначе т-мерным ящиком. В отличие от

Кроме того, на рис. 1.5 приведен поточечный график погрешности 6 = u-uh предложенного метода (1.50)—(1.53) на сетке Wh с шагом h = 1/64 = 1 /п для задачи I. Он действительно демонстрирует разный порядок точности в разных типах узлов.
Рис. 1.5 График погрешности метода (1.50)—(1.53).
1.3. Обсуждение результатов и возможные пути обобщения
Рассмотрим достоинства и недостатки предложенного метода. В §1.1 и §2.1 приведены матрицы методов четвертого и шестого порядка точности. Первая из них пятидиагональная, вторая - девятидиагональная, поэтому такой эффективный и широко известный метод как прогонка к полученным системам неприменим. Но, используя линейные преобразования, матрицу системы (1.20) легко привести к трехдиагональному виду. Для этого к каждому г-му уравнению, соответствующему четным узлам, прибавим по два уравнения, соответствующие нечетным узлам г + 1 и г — 1 с коэффициентом 1/8 (для упрощения изложения положим й(х) = 0, х 6 [0,1]). В результате приходим к преобразованной системе, эквивалентной (1.20):
Акик = Рн, (1.87)