Моделирование многократного рассеяния в среде фрактального типа

• Автор: Коробко, Дмитрий Александрович
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Ульяновск
• Количество страниц: 108 с. : ил.

Оглавление
Введение
1. Общая теория многократного рассеяния
1.1. Кинетическое уравнение
1.2. Упругое рассеяние. Малоугловое приближение
1.3. Приближение Фоккера-Планка
1.4. Функция распределения Мольер
1.5. Рассеяние заряженных частиц. Решение А.С.Компанейца
1.6. Неупругое рассеяние. Приближение “прямо - вперед”
1.7. Спектр энергетических потерь. Приближение непрерывного замедления. Диффузионное приближение
1.8. Распределение Ландау
1.9. Выводы
2. Моделирование точечных фрактальных распределений и кластеров
2.1. Классические модели точечных фрактальных структур
2.2. Модификация алгоритма Мандельброта
2.3. Ветвящиеся процессы и стохастические фракталы
2.3.1. Общее описание ветвящихся процессов
2.3.2. Асимптотическое поведение плотности отдельного каскада
2.3.3. Критичность и фрактальность
2.4. Распределение по числу частиц в кластере
2.5. Выводы
3. Многократное рассеяние на точечных фрактальных структурах
3.1. Распределение длины свободного пробега
3.2. Вероятностное описание многократного рассеяния
3.3. Многократное рассеяние со степенным распределением свободного пробега
3.4. Уравнения переноса в среде фрактального типа
3.5. Разброс по полному пробегу во фрактальной среде

3.6. Моделирование методом Монте-Карло процесса многократного рассеяния
во фрактальных структурах
3.7. Выводы
4. Аномальный перенос в аморфных полупроводниках
4.1. Постановка задачи
4.2. Время ожидания
4.3. Переходный ток
4.4. Выводы
5. Фрактальное распределение галактик
5.1. Крупномасштабная структура Вселенной
5.1.1. Глобальная массовая плотность фрактальной Вселенной
5.2. Распространение света в гравитационном поле однородно распределенных источников
5.3. Отклонение луча света в гравитационном поле фрактально распределенных галактик
5.4. Выводы
Приложение. Односторонние устойчивые распределения
Заключение
Литература
Введение
В основе современной теории многократного рассеяния лежит кинетическое уравнение Больцмана [1, 2, 3]
(у/и) УФ- цФ = А'Ф + 5, (1)
где Ф(г, у) - фазовая плотность частиц, V - скорость, ц - линейный коэффициент взаимодействия, К - интегральный оператор рассеяния, 5 - плотность источников. В малоугловом приближении в асимптотике больших глубин это уравнение приводит к известным результатам теории переноса: гауссову распределению многократно рассеянных частиц по углам и энергиям, распределениям Мольер и Ландау, описывающим многократное рассеяние быстрых заряженных частиц [4, 5].
Специфический вид левой части уравнения (1) связан с предположением о взаимной независимости рассеивающих центров, образующих в пространстве пуассоновский (в общем случае - неоднородный пуассонов-ский) ансамбль [6]. Такой ансамбль является не более чем приближенной моделью реальной среды, в которой всегда имеются корреляции, обусловленные взаимодействием ее атомов. Мелкомасштабные (близкие) корреляции можно учесть по теории возмущений [7], однако далекие корреляции среды приводят к необходимости обобщения исходного уравнения переноса.
К числу таких структур, интенсивно исследуемых в течение последних десяти с лишним лет, относятся пористые материалы, аморфные полимеры, турбулентные потоки, шероховатые поверхности и др. (см. обзоры [8, 9, 10]), обладающие в широком диапазоне расстояний корреляционной функцией степенного типа
£(г) а гв~3, 0 < О < 3. (2)
Качественное описание таких структур дает фрактальная модель, в которой соотношение (2) предполагается справедливым при всех го < г < оо, показатель Э при этом называется фрактальной размерностью [11]

ющихся в дальнейшем независимо друг от друга с той же переходной вероятностью. Тогда уравнение (2.9) примет вид
п(у[х) = 5(у - х) + qk Jр(х -> х')п(у|х')(1х'. (2.10)
При qk = 1 уравнение (2.10) совпадает с уравнением (2.7), а следовательно, его решение совпадает с решением (2.7) и приводит к результату (2.8). Среднее число всех точек на траектории
(N(00)) = оо (2.11)
по-прежнему бесконечно, но теперь индивидуальное значение IV(оо) не есть со, как раньше, а является случайной величиной с распределением и/к, так что

(IV(оо)) = £ Лгге# = оо.

В теории ветвящихся процессов [47, 48] случай qk = называется критическим, и имеет место теорема, согласно которой критический ветвящийся процесс является вырождающимся, т.е. с вероятностью 1 число узлов в таком процессе конечно. Это вовсе не противоречит (2.11) и означает лишь, что
ши -> О, N-*00.
В частности, при д = 1/2 и к= 2 имеем №= 2п — 1,гг = 1,2

2пп!
Однако в плане рассматриваемой проблемы этот результат очень важен: он открывает возможность моделирования фрактальных распределений типа (2.8) с помощью почти конечных (т.е. конечных с вероятностью 1 траекторий).
Таким образом после модификации модель Мандельброта выглядит следующим образом. Начало декартовой системы координат помещается в точку х, т.е. траектории начинаются из начала координат. В качестве условного пространственного масштаба принимается 7?о = 1 радиус