Многомерные статистические модели и их применение при описании социально-экономических процессов

• Автор: Иванова, Наталья Леонидовна
• Шифр специальности: 05.13.18
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Тверь
• Количество страниц: 115 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
1. Экспонентные семейства распределений
2. Достаточные статистики
3. Постановка задачи оценки параметров
4. Натуральные экспонентные семейства распределений
5. Характеризации НЭС дисперсионной функцией
6. Классификация НЭС
7. Другие способы характеризации НЭС
8. Свойство воспроизводимости НЭС
9. Реконструкция многомерного распределения с пуассоновски-
ми маргиналами
10. Экспоненциальные дисперсионные модели
11. Построение несмещенной оценки
12. Применение НЭС в модели динамики численности и состава
населения
ГЛАВА 1. ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ МНОГОМЕРНЫХ НЭС
1. Класс многомерных распределений Т и его свойства
2. Частные случаи решения функционального уравнения
3. Примеры
Нормальное распределение
Распределение Пуассона
Гиперболический косинус
Биномиальное распределение
Отрицательное биномиальное распределение
Гамма-распределение

Нормальное-Пуассоновское распределение

ГЛАВА 2. ТОЧЕЧНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ МНОГОМЕРНЫХ НЭС С КВАДРАТИЧНОЙ ФУНКЦИЕЙ ДИСПЕРСИИ
1. Многомерные НЭС с квадратичной функцией дисперсии
2. Ортогональные многочлены и их свойства
3. Простые квадратичные семейства, выражение для производной
4. Выражение для скалярного произведения многочленов одной
степени
5. Разложение многочлена по параметру
6. Построение несмещенной оценки
7. Система ортогональных многочленов для полиномиального рас-
пределения
ГЛАВА 3. ПРИМЕНЕНИЕ НЭС В МОДЕЛИ СОЦИАЛЬНЫХ ПОСЛЕДСТВИЙ РЕФОРМЫ ЖКХ
1. Постановка проблемы
2. Анализ исходных данных и источников информации
3. Основные предположения
4. Применение распределений НЭС для описания демографичес-
ких процессов
5. Обозначения и предположения для описания сложной семьи .
6. Описание модели
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
ВВЕДЕНИЕ
Экспонентные семейства распределений, введение которых в рассмотрение восходит к А. Пуанкаре и JI. Больцману, включают многие семейства, имеющие большое теоретическое и практическое значение. Таковы, например, семейства гауссовских распределений произвольной размерности, пуассоновские семейства распределений, гамма распределения и др. В частности, гамма- распределение традиционно используют в актуарной математике для описания процесса смертности; во многих эконометрических моделях применяют распределение Пуассона для описания характеристик рождаемости.
Начало современной теории экспонентных семейств положено Р. Фишером в 1934 году. Дальнейшее развитие эта тема получила благодаря исследованиям датской школы, в частности, работам О. Барндорфф-Нельсена (О. Barndorff-Nielsen), см. [41]—[43]. Так же можно говорить о существовании Калифорнийской школы, представителями которой являются Ч. Стейн (C. Stein), Б. Эфрон (В. Efron), К. Моррис (С. Morris), см. [62], [63]. Специальные свойства экспонентных семейств распределений нашли также отражение в работах М.С.К. Твиди (М.C.K. Tweedie) [67], Ш.К. Бар-Лева (S.K. Bar-Lev), П. Ениса (P. Enis) [38], [40] и Б. Джоргенсена (В. Jorgensen) [56]. В настоящее время активными исследованиями в области экспонентных семейств распределений занимаются математики французской школы, в частности Г. Летак (G. Letac) и его ученики, см. [58]—[61].
Среди натуральных экспонентных семейств распределений подробно изучены одномерные распределения, для них получены теоретические результаты, благодаря чему для рассматриваемых распределений реализованы многие вероятностные и статистические проце-
Определим систему функций [63]
р,{х,т) = • у+щ (0.51)
для д = 1, 2,... Согласно (0.51), имеем функции
Ро(х,т) = 1, Р(х, т) = х — т,
Ръ{х, т) = (х — гп)2 — У'(т)(х — т) — V(ш),
Доказано [63], что система функций {Ря(х,т)} является системой многочленов как по х, так и по т, ортогональных относительно плотности.
Эти многочлены получаются по следующему рекуррентному правилу (см. [63]):
Ря+1 = (Р1-дГ)Рд + УР!1, д>1,
9(X 777-')
где Рц — Р ’—-, причем получено следующее выражение для производной:
РМ = (-1)*-(а9/о,_г)Рд_г> для д ^ 1, г = 0, д, Р^ = - = Я- Д (1 -Нг>2), учитывая

которое, рекуррентное соотношение перепишется как
Ря+1 = (Рг - дГ)Рд - д{1 + (д - 1)^2}^_1.
Выражение для математического ожидания произведения многочленов имеет вид
ЕщР= &qnQtqVЯ, Я} ^ ^ 0.
Доказано [63], что для т,то € и любого ш ^ 0 выполняется соотношение
л ! V'' (т ~ то)Я~Г 1 п /
Ря(х,т0) = ад —7ГЗЙ1 “РНж>т)>
(д — г)! а
откуда следует
ЕшРд(ж,т0) = ^у(т - то)9.