Построение граничных аналогов метода наименьших квадратов для аппроксимации решения эллиптических дифференциальных уравнений

• Автор: Ануфриев, Игорь Евгеньевич
• Шифр специальности: 05.13.16
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 153 с. : ил.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ
ГЛАВА 1. ПОСТРОЕНИЕ ГРАНИЧНЫХ АНАЛОГОВ МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ РЕШЕНИЯ ОБОБЩЕННОЙ ЗАДАЧИ
ДИРИХЛЕ
§1. Построение граничного аналога метода наименьших квадратов для аппроксимации слабого решения обобщенной задачи
Дирихле
п.1. Определение слабого решения обобщенной задачи Дирихле
п.2. Представление приближенного решения
п.З. Сходимость приближенного по ГАМНК решения к точному.. 25 п. 4. Разрешимость системы линейных алгебраических уравнений ГАМНК.. 34 §2. Построение граничного аналога метода наименьших квадратов для
аппроксимации регулярного решения обобщенной задачи Дирихле
п.1. Определение регулярного решения обобщенной задачи
Дирихле
п.2. Представление приближенного решения
п.З. Сходимость приближенного по ГАМНК решения к точному. 38 п. 4. Разрешимость системы линейных алгебраических уравнений ГАМНК.. 44 §3. Построение граничного аналога метода наименьших квадратов для аппроксимации очень слабых решений
граничных задач
п.1. Построение ГАМНК для аппроксимации очень слабого
решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения
п.2. Построение ГАМНК для аппроксимации очень слабого решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа
ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ ГРАНИЧНОГО АНАЛОГА МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ ДЛЯ АППРОКСИМАЦИИ РЕШЕНИЯ ГРАНИЧНЫХ ЗАДАЧ, СОДЕРЖАЩИХ НЕУСТОЙЧИВЫЕ ГРАНИЧНЫЕ
УСЛОВИЯ
§1. Постановка задачи

§2. Построение граничного аналога метода наименьших квадратов для аппроксимации только слабого решения
п.1. Слабая постановка граничных задач, содержащих
неустойчивые граничные условия
п.2. Формальное построение ГАМНК
§3. Построение граничного аналога метода наименьших
квадратов для аппроксимации сильного решения
п.1. Сильное решение граничной задачи
п.2. Построение ГАМНК для аппроксимации сильного решения. 57 §4. Построение граничного аналога метода наименьших квадратов для аппроксимации решения, определенного в фактор-
пространстве
п.1. Определение решения граничных задач в
фактор-пространстве
п.2. Построение ГАМНК для аппроксимации сильного решения. 62 §5. Разрешимость системы линейных алгебраических уравнений ГАМНК
ГЛАВА 3. ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ ГРАНИЧНОГО АНАЛОГА
МЕТОДА НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ
§1. Понятие вычислительной устойчивости
§2. Достаточные условия вычислительной устойчивости
граничных аналогов метода наименьших квадратов
п. 1. Устойчивость ГАМНК для аппроксимации слабого решения обобщенной
задачи Дирихле
п. 2. Устойчивость ГА МНК для аппроксимации сильного решения граничных задач, содержащих неустойчивые граничные условия, и к+1-регулярного
решения обобщенной задачи Дирихле
п.З. Устойчивость ГАМНК для аппроксимации очень слабого
решения задачи Дирихле для бигармонического уравнения
п.4. Устойчивость ГАМНК для аппроксимации решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа (случай области с гладкой
границей)
п. 5. Устойчивость ГАМНК для аппроксимации решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа (случай области с кусочно-линейной границей)
§3. Численная реализация граничного аналога метода наименьших квадратов для задачи Дирихле для уравнения Лапласа
п.1. Случай области с гладкой границей
п.2. Случай области с кусочно-линейной границей
§4. Численная реализация граничного аналога метода наименьших квадратов для аппроксимации слабого решения
обобщенной задачи Дирихле
§5. Численная реализация граничного аналога метода наименьших квадратов для аппроксимации регулярного решения обобщенной задачи Дирихле и сильного решения граничных
задач, содержащих неустойчивые граничные условия
п. 1. Аппроксимация регулярного решения обобщенной задачи Дирихле. 87 п.2. Аппроксимация решения граничной задачи, содержащей
неустойчивые граничные условия
ГЛАВА 4. ПОСТРОЕНИЕ ГРАНИЧНОГО АНАЛОГА МЕТОДА КОЛЛОКАЦИИ
§1. Определение граничного аналога метода коллокации
§2. Граничный аналог метода коллокации для аппроксимации очень слабого решения задачи Дирихле для бигармонического
уравнения
п.1. Построение ГАМ К
п.2. Сходимость ГАМК
п.З. Обусловленность матрицы системы линейных
алгебраических уравнений ГАМК
§3. Граничный аналог метода коллокации для аппроксимации
слабого решения обобщенной задачи Дирихле
п.1. Построение ГАМК для преобразований Фурье
п.2. Построение ГАМК для глобальных базисных функций
§4. Построение граничного аналога метода коллокации для аппроксимации решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в многоугольных областях

кроме того (у, у)г>0, для всех щуе1_. Осталось показать, что если {и, и) г=0 и ие1, то и(х) = 0, для хе О.
Пусть (и,и)г=0, и<={.. Тогда для всех г=0

Эуг 11и/|_г“1/2(Г)
Так как ие1, то и(х) является решением граничной задачи для однородного
дифференциального уравнения с однородными граничными условиями

Билинейная форма А(щу) является ’ (П)-эллиптичной и ограниченной, следовательно [47], существует единственное тривиальное решение и(х) = 0.
Таким образом, (и,у)г задает скалярное произведение на Б. Обозначим через !_ г евклидово пространство функций из Ь со скалярным произведением (и, у) г- Итак, является матрицей Грама первых N элементов сис-
темы (линейно независимых) глобальных базисных функций {срр{х)}р= 1,2
Заметим (см. §4 главы 3), что построение системы линейных алгебраических уравнений (1.25) ГАМНК (1.9) в пространствах следов является довольно трудоемким процессом.
Отметим основной результат этого параграфа. Пусть данные граничной задачи удовлетворяют условиям гладкости, обеспечивающим лишь суще-
к-г-1/2 к+1-г-М2
ствование слабого решения (т.е., например дге Иф (Г) и дг<гИ/2 (Г),
где />0, для всех г). Тогда для получения сходящегося решения к слабому ре-шению граничной задачи в 1Д2 (О) (в смысле энергетической нормы) необходимо использовать ГАМНК (1.9) в пространствах следов
Однако, данные многих практически важных граничных задач для эллиптических уравнений удовлетворяют более слабым или более сильным требованиям, чем необходимые и достаточные условия существования слабого решения. В первом случае речь идет об "очень слабой" постановке граничных задач (см. [47], [53], [55]), а во втором—о граничных задачах, удовлетворяющих условиям "/г+/-регулярности" (см. [47]). В следующих параграфах рассмотрено построение ГАМНК для аппроксимации /<+/-регулярных и очень сла-