Методы, алгоритмы и структурные свойства решения краевых задач типа Газемана и Карлемана для полианалитических функций в теории упругости для областей сложной формы

• Автор: Юденков, Алексей Витальевич
• Шифр специальности: 05.13.16
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 130 с.

Оглавление.
Введение
Глава 1. Задача Газемана для полианалитических функций
§ 1. Обобщенная задача Газемана для аналитических функций. 20 § 2. Исследование задачи типа Газемана для бианалитических
функций
§ 3. Метод конформного склеивания для задачи Г аземана для
бианалитических функций
§ 4. Задача Г аземана для полианалитических функций
произвольногопорядка
Глава 2. Методы решения задачи типа Карлемана для
бианалитических функций. Их применение в задачах плоской теории упругости
§ 5. Обобщенная задача типа Карлемана для аналитических
функций
§ 6. Исследование задачи типа Карлемана для бианалитических функций
§ 7. Метод конформных отображений при решении задачи
Карлемана для бианалитических функций
Глава 3. Задача типа Карлемана для полианалитических
функций в случае многосвязной области
§8. Обобщенная задача типа Карлемана в случае многосвязной
области
§ 9. Задача типа Карлемана для полианалитических функций
произвольного порядка
Глава 4. Задача Карлемана для полианалитических функций.
Ее применение в теории упругости
§10. Задача Карлемана для бианалитических функций
§11. Задача Карлемана для полианалитических функций
порядка п>2
Приложение
Литература

Введение.
Актуальность темы. Одним из важнейших разделов плоской теории упругости являются, так называемые, первая и вторая основные задачи теории упругости (см. Например [31] и приведенную там библиографию).
Первая основная задача. Найти равновесие при заданных внешних напряжениях, приложенных к границе L области D.
Вторая основная задача. Найти упругое равновесие при заданных смещениях точек границы L.
Так как напряженное состояние и смещение могут быть выражены через две аналитические функции комплексного переменного В работах Г.В. Колосова, Н.И. Мусхелишвили было показано, что первую основную задачу можно свести к нахождению бигармонической функции U(x,y) по заданным значениям ее частных производных.

— = gi(0, (teL) (0.1)

= (0.2)
где g, (0, Si (0-заданные на L функции.
Напомним, что бигармоническую функцию U(x,y) в комплексной форме можно записать в следующем виде
U(z) = (p{)(z) + (p0(z) + zcpx (z) + z(Px(z), (0.3)
или U (z) = Re {F(z)}, где
= Функцию F(z) называют бианалитической функцией.
Первой и второй основным задачам теории упругости к настоящему времени посвящено множество замечательных оригинальных работ Адама-

ра, Лауричелли, С.Л. Соболева, Г.В. Колосова, Н.И. Мусхелишвили, С.Г. Михлина, Д.И. Шермана и многих других известных российских и зарубежных математиков.
Особенно простые краевые решения были получены в случае, когда Ь представляет собой окружность и для областей, отображаемых на круг рациональными функциями (см. например [31]). Однако в случае разомкнутых контуров или произвольных замкнутых контуров при решении первой основной задачи теории упругости возникают существенные трудности, в частности из-за того, что бианалитические функции неинвариантны относительно конформных преобразований. Одним из возможных методов их преодоления может быть переход к другим краевым задачам для бианалитиче-ских функций.
Пример 01. Требуется определить бигармоническую функцию и (х,у), исчезающую на бесконечности и непрерывно продолжающуюся на Ь вместе со своими производными до второго порядка включительно, по краевым условиям (0.1) и (0.2), где Ь = [-2;2].
Решение. С учетом (0.3), краевые условия (0.1) и (0.2) можно переписать в виде
г _ г г I
<р1 (0 + (0 + К(0 = 4<Ро (0 + д (О + <Р (0]+я,(0 (0.4)
Р _ ! Р Г
<Ро (0 + иР (0-(0 =-К (*) + '< (0~(р (t)+g2(t) (0.5)
Будем считать, что положительное направление на Ь = [-2;2] совпадает с положительным направлением действительной оси. Будем также различать два берега отрезка [-2;2]: нижний Г_ и верхний Г+.
Так как на Ь выполняется условие

можно ввести новые функции Ф0(г), Ф,(г), граничные значения которых удовлетворяют условиям:

р±(2)/г=0=0, Р"(2)/г=2.=0, j = 1,2, р, (2.3)
где г] - некоторые фиксированные точки из Г.) |
Для краткости сформулированную задачу назовем задачей Гг.
П.2.2. Решение задачи Г2.
Решение задачи Г2 будем искать в виде (см. например [16], с.316)
Р±(2)=Фо(2)+2фг(г), (2.4)
где фо(г) (к = 0, 1) - аналитические функции вР+и О" ' соответственно, причем ф["(г) = б,-(г), г еПц, 6,“(г) - аналитическая функция в
д д д д
Таккак— = — + —, — = і
Эх дг дг ду
(д а,
(см. например [16] с.308), то с
дг дг.
учетом (2.4) краевые условия (2.1), (2.2) можно переписать в виде
Фо,(а(*і)) + а(ОфГ(а(0) + фГ(а(1і))=
= сі, (і)[ф'0(0+ї ф',(0 + Д)] + g1 (о,
Фо ,(ос(11)) + а(0 ф('(а(0)- фГ'(а(11)) -
= 02(0[фо(0 + 1ф,,(0-ф;‘(о]42(1),
где ф'(г) (к = 0, 1) - производная ф(г) по г в соответствующей точке. Перепишем (2.5 а) в следующем виде
Ф0+'(а(1)) = О1(1)ф0-'(0 + д0(0, (2.6)

Оо(к) = -а(1) фГ’(а(1)) — фГ(°(Г)) + 01(1)4ф]"'(1) + 01(1) ф,-(О + Я] (1) (2.7)
Предположим временно, что С>г, Д) - известная функция, тогда (2.6) - условие скалярной задачи Газемана относительно кусочно аналитической функции ф0'(г), имеющей на бесконечности нуль второго порядка (т.е.
П(ф0 ;«0 = 2).
Пусть к,= Пк! ОД1), а К) = к, -1. Решая задачу Газемана (2.6) относи-