Итерационные методы исследования состояний и управление колебаниями нелинейных строительных и электромеханических систем

• Автор: Кабельков, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1997
• Место защиты: Новочеркасск
• Количество страниц: 231 с. : ил.

МИНИСТЕРСТВО ОБЩЕГО И ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
НОВОЧЕРКАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
На правах рукописи
КАБЕЛЬКОВ АЛЕКСАНДР НИКОЛАЕВИЧ
ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ СОСТОЯНИЙ И УПРАВЛЕНИЕ КОЛЕБАНИЯМИ НЕЛИНЕЙНЫХ СТРОИТЕЛЬНЫХ И ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ
05.13.01- Управление в технических системах
ДИССЕРТАЦИЯ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ ДОКТОРА ТЕХНИЧЕСКИХ НАУК
Научный консультант -доктор технических наук, профессор Г.В. Воронцов
Новочеркасск

Введение
Все большее значение для повышения точности расчетов при проектировании конструкций и машин приобретают задачи исследования их устойчивости и колебаний на основе нелинейных моделей.
Многочисленные аварии, связанные с увеличением фактических нагрузок вследствие возбуждения колебаний, неточности показаний приборов, отклонения размеров деталей, обрабатываемых на металлорежущих станках, приводят к необходимости тщательного исследования колебательных режимов, возникающих вследствие потери устойчивости узлов машин и конструкций, а также их активного гашения.
В зависимости от вида механических систем выбираются методы исследования их устойчивости и колебаний. Различают консервативные и неконсервативные механические системы. Существуют различные подходы к определению консервативных и неконсервативных систем. Так, в работах Болотина В.В.[12] и Парса Л.[89] под консервативными понимаются механические системы, подверженные действию внешних сил, обладающих потенциалом. В этом случае открытым остается вопрос о консервативности (неконсервативности) внутренних сил. Циглер Г. в работе[108] консервативными считает системы, находящиеся под действием сил, работа которых на любом допустимом перемещении системы зависит лишь от ее начальной и конечной конфигураций. В этом случае в число консервативных включаются силы, работа которых на допустимых перемещениях системы равна нулю (например, нормальные реакции, кориолисовы силы, гироскопические моменты).
Нам представляется более строгим следующее определение консервативных систем: консервативными называются деформируемые системы, подверженные действию внешних и внутренних сил, работа которых зависит лишь от начальной и конечной конфигураций систем.
Неконсервативными, в соответствии с работой Циглера Л. [108], назовем системы, которые содержат хотя бы одну силу, не относящуюся к консервативным. В соответствии с этим приведем классификацию неконсервативных систем:
диссипативные - системы, подверженные действию внешних и внутренних сил трения; нестационарные - системы, находящиеся под действием сил, явно зависящих от времени; циркуляционные - системы, нагруженные неконсервативными силами, не зависящими от скорости и времени.
Системы первого и третьего типов могут быть объединены в одну группу- автоном-

ные системы.
Целью настоящей работы является исследование устойчивости и колебаний неконсервативных нелинейных систем с общих позиций теории устойчивости движения. Предлагаемый подход предусматривает:
- определение стационарных (в частности равновесных) состояний системы ;
- выявление критических значений параметров систем, соответствующих поверхностям раздела устойчивых и неустойчивых стационарных состояний;
- расчет амплитудно - частотных характеристик периодических режимов, ответвляющихся от стационарных состояний;
- исследование устойчивости этих режимов;
- оптимальное управление колебаниями, с целью их гашения или ограничения амплитуд.
Определение равновесных состояний нелинейных деформируемых систем может быть выполнено методом простой итерации [7], Ньютона- Рафсона [18,99 ], наискорейшего спуска [91] или приведения нелинейных алгебраических уравнений к линейным дифференциальным уравнениям [20,45]. Недостатком этих методов является предположение о единственности решения. Устранение указанного недостатка достигается использованием теории ветвления решений нелинейных уравнений [15,71]
Выявление критических параметров, соответствующих поверхностям раздела устойчивых и неустойчивых равновесных состояний, может быть проведено на основе первого [83,84] и второго методов Ляпунова. Недостатком первого метода является ограниченность исследования устойчивости равновесных состояний в первом приближении (устойчивости в малом).Второй метод сопряжен с трудностями построения функций Ляпунова.
Способы решения задач о колебаниях, ответвляющихся от равновесных состояний, квалифицируем по следующим признакам:
- применению “точных” и численных методов решения уравнений основных состояний;
- использованию асимптотических методов [11] решения нелинейных дифференциальных уравнений;
- применению способов приведения исходных уравнений к линейным, что дает возможность реализовать хорошо разработанные алгоритмы решения линейных краевых задач.
Одним из наиболее распространенных “точных” методов решения нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих движение неконсервативных систем, является способ “точечного преобразования” поверхностей А. А. Андронова [3]. К “точным” методам примыкают различные алгоритмы численного решения нелинейных уравнений. Достоинства

Глава 2.
Применение методов линеаризации к решению задач о колебаниях нелинейных
многомерных систем.
Методы геометрической, эквивалентной и гармонической линеаризации нашли широкое применение при решении задач о колебаниях механических систем с малым числом степеней свободы [11,80,94,106]. Их можно отнести к “прямым” методам решения систем дифференциальных уравнений, поскольку автоматически предполагается существование периодических режимов. Нашей задачей является использование указанных методов в рамках теории устойчивости движения применительно к многомерным системам. Такой подход предусматривает: нахождение равновесных состояний; определение критических параметров, характеризующих систем; учет в уравнениях, описывающих поведение нелинейно деформируемых тел в окрестностях критических значений параметров, равновесных состояний.
2.1 Метод геометрической линеаризации
Рассматриваем задачу об устойчивости “в малом” системы, описываемой нелинейными уравнениями типа
+ (го
где В(р,у) -матричный линейный дифференциальный оператор;
Р ( V) - нелинейная вектор-функция переменных состояния qэRN и параметров
системы V Э Л8; 120Э /Г -вектор постоянных воздействий; р- (Л I (М.
Принимаем следующие допущения:
-отклонения Ац( /) системы от равновесного(статического) состояния ({/, V) есть непрерывная и гладкая вектор-функция в окрестности г В эЯ1
постоянная матрица; Ж А'
Полагая в выражении (2.1)