Оптимальное управление в задачах подземной гидромеханики

• Автор: Кулибанов, Владимир Николаевич
• Шифр специальности: 05.13.01
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2000
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 74 с.; 20х15 см

Общая характеристика работы.
Диссертация, представленная в виде научного доклада, содержит изложение основных работ автора в области разработки методов и алгоритмов поиска оптимальных управлений для ряда задач подземной гидромеханики, выполненных и опубликованных с 1972 по 1999 годы.
Актуальность темы. Проблемы поиска оптимального управления в задачах подземной гидромеханики были сформулированы в Институте проблем управления РАН (лаб. № 19) в середине семидесятых годов. К этому времени получили широкое распространение математические модели фильтрации трехкомпонентной жидкости (нефть-вода-газ) в пористой среде и математические модели распределения уровня грунтовых вод.
Математическое описание фильтрации двухкомпонентной жидкости (нефть-вода) в пористой среде на макро уровне, основанное на законах сохранения массы по каждой компоненте, впервые было сделано в работе Г. Коллинза. Введение понятия фазовой проницаемости и выражение величины скачка капиллярного давления как функции от значения нефтенасы-щенности позволило ему получить модель фильтрации нефти и воды в виде замкнутой системы двух уравнений в частных производных. Дальнейшее развитие и усложнение математических моделей фильтации наиболее полно отражено в работах Г. Кричлоу, X. Азиза, Э. Сеттари. Основная часть работ, посвященная математическому моделированию фильтрации, связана (либо с усложнением модели путем более полного учета физических зависимостей, либо с проблемами численного решения уравнений модели.
• Лишь незначительная часть опубликованных работ исследует проблемы качественного анализа решений. В частности проблемы: существование решения уравнений при заданных граничных и начальных условиях, зависимость гладкости решений от гладкости функций, входящих в уравнения
модели. Поскольку модель содержит нелинейные уравнения в частных производных, решение этих проблем является достаточно сложной задачей. Однако, решение этих проблем необходимо для корректной постановки задач оптимального управления, в частности, для получения зависимости между классом управляющих функций и классом функций - решений модели. Наиболее интересной в этом направлении представляется работа С.Н. Кружкова и С.М. Сукорянского, написанная в 1977 году и решающая вышеназванные проблемы для изотермической фильтрации двухкомпонентной несжимаемой жидкости. Работа основана на классических результатах по качественной теории линейных и квазилинейных уравнений параболического типа, полученных O.A. Ладыженской и ее учениками. Доказательство существования решения основано на теореме Шаудера о неподвижной точке для вполне непрерывных операторов. Вопрос о существовании решения и его гладкости для неизотермической фильтрации оставался открытым. При разработке методов поиска оптимальных управлений важную роль играет проблема оценки нормы приращения решений в зависимости от нормы приращения управлений. Для обыкновенных уравнений, такая оценка позволила Л.И. Розоноэру еще в 1959 г. сформулировать принцип максимума в случае незакрепленного правого конца траекторий. Для уравнений в частных производных эта проблема аналогична проблеме определения априорных оценок, а для уравнений параболического и эллиптического типов приобретает вид энергетических неравенств. Энергетические неравенства необходимы для оценки значений квадратичных и высших членов разложения функционала на решениях уравнений модели. Отметим, что эти оценки важны и при идентификации параметров модели градиентными алгоритмами. В восьмидесятых годах появилось большое количество работ, посвященных разработке таких алгоритмов без оценки высших чле-

Таким образом, задача локальной оптимизации ставится как Д/ min при ограничениях (55). Поставленная задача является задачей линейного программирования, размерность которой определяется числом источников п.
При большом числе источников п применение стандартных методов решения задач линейного программирования, например, симплекс-метода приводит к трудоемким в вычислительном отношении процедурам, связанных с большим числом итераций и накоплением ошибок вычислений. Предложенные в работах Я.М. Берщанского, Б.Л. Литвака и М.В. Мерова (1974-1977 годах) методы позволили учесть специфику данной задачи и