Задачи зондирования слоистых сред и восстановление неунимодальных профилей

• Автор: Нестеров, Иван Анатольевич
• Шифр специальности: 04.00.23
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 137 с. : ил.

Содержание
Введение
Глава 1. Обзор задач зондирования слоистых сред
1.1 Распространение электромагнитных волн в слоистой плазме
1.2 Постановки прямых и обратных задач зондирования слоистых сред ;
1.3 Использование точно решаемых моделей
1.4 Дифференциальные уравнения, определяющие коэффициент отражения, и их численное решение
1.5 Методы решения обратной задачи рассеяния
Глава 2. Прямая задача
2.1 Метод дельта-потенциалов
2.2 Приближение, основанное на методе фазовых функций
2.3 Приближенное решение прямой задачи для больших потенциалов с долинами
2.4 Краткие выводы
Глава 3. Обратная задача. Потенциалы малой величины
3.1 Величина потенциала и её влияние на возможность успешного численного решения обратной задачи
3.2 Метод Гельфанда-Левитана-Марченко
3.3 Итерационная процедура для решения обратной задачи
3.4 Краткие выводы
Глава 4. Обратная задача. Потенциалы большой величины
4.1 Монотонный гладкий потенциал. Унимодальный потенциал
4.2 Потенциалы с долинами. Анализ структуры решения прямой задачи и возможности решения обратной задачи
4.3 Постановка обратной задачи с использованием параметров резонансов и метод её решения
4.4 Численный эксперимент
4.5 Краткие выводы
Заключение
Литература
Введение
Многие геофизические среды содержат слоистые структуры: ионосфера, атмосфера, океан и т.д. Для широкого класса задач распространения волн в слоистых средах поведение комплексной амплитуды4 плоской монохроматической электромагнитной волны описывается одномерным уравнением Гельмгольца
(/ — частота волны, к = 2я//с — волновое число, с — скорость света, п — показатель преломления). Для электромагнитных волн в “холодной” изотропной слоистой плазме оно имеет вид [15,22,46,62]
(где ?(*,/) =
ъйтс\ + 1(х)12ц[)
эффективная частота соударений, ей т — заряд и масса электрона), аналогичный виду стационарного уравнения Шрёдингера в квантовой механике (функцию д(х) называют потенциалом). Помимо квантовой механики, уравнение (0.2) возникает в задачах сейсмики [3,108], а также в оптике и акустике при описании падения плоской волны на слоистую среду под различными углами [12,29,55,67,79,86,119]. Более того, существует замена переменных, переводящая (0.1) в (0.2) для сред без поглощения [67,84]. Близки к (0.1), (0.2) и уравнения, возникающие в задаче электромагнитной разведки [66]. Таким образом, уравнение (0.2) соответствует широкому кругу задач распространения волн в слоистых средах — это задачи радиозондирования ионосферы, радио- и акустического зондирования атмосферы и океана, сейсмики и электромагнитной
(0.1)
(0.2)
e2N(x)
разведки, а также задачи зондирования лабораторной плазмы и полупроводниковых плёнок
Теория обратной задачи рассеяния (ОЗР) для уравнения Шрёдингера на полупрямой была развита в классических работах И М. Гельфанда и Б.М. Левитана [14], В.А. Марченко [52-54], М.Г. Крейна [36-37], А.Ш. Блоха [11], И.Кея [100,101] и др. В соответствии с этой теорией по коэффициенту отражения для всех положительных значений волнового числа и характеристикам связанных состояний можно однозначно восстановить действительный потенциал д(х) . В дальнейшем этот результат был обобщен для задачи на всей прямой [70,88,107], для комплексных потенциалов на полупрямой [51], и для действительных потенциалов со степенной зависимостью от энергии [26]. Альтернативные методы решения ОЗР (методы послойного восстановления) были предложены Б.Н. Захарьевым [24-26], П. Дейфтом и Е. Трубовицем [88], И. Ченом и В. Рохлиным [84].
Схожие по постановке, задачи зондирования слоистых сред (слоистой плазмы) имеют ряд отличий от классической ОЗР. Во-первых, в квантовой механике потенциал — действительная функция, а в задачах распространения волн при учёте поглощения он должен быть комплексным. Обобщение метода Гельфанда-Левитана-Марченко (ГЛМ) на случай комплексных потенциалов для задачи на полуоси было получено в [51], при этом требуется знание коэффициента отражения в нефизической области отрицательных частот. Во-вторых, в задачах распространения волн потенциал может зависеть от частоты. Обобщение методов ОЗР было получено [26] лишь для степенной зависимости от энергии при условии действительности потенциала. И в-третьих, наиболее существенная особенность задач распространения волн состоит в том, что в них потенциал может иметь весьма большую величину. (Под безразмерной величиной потенциала будем понимать произведение характерного значения потенциала дд на

Для того, чтобы R(x,k) и Т(х,к) определялись однозначно, наложим на них дополнительное условие
—= ik Т(х,к)(?,кх - R(x>k)e-‘kx), (1.4.7)
из которого следует, что
~(eikx + Ae-'fo) + T~e~ikx = О. ' (1.4.8)
дхх ' дх v ’
Дифференцируя (1.4.7) по х и подставляя в (0.2), а также используя (1.4.8), получим
уравнение для коэффициента отражения
04.9)
с граничным условием (1.4.66). Это уравнение используется в теории фазовых функций [8,27]. Найдя R(x,k) из (1.4.9) и (1.4.66), можно найти Т(х,к) из (1.4.8) и (1.4.6а). В частности, уравнение (1.4:8) с учётом (1.4.9) можно переписать как
:(l + Ae'2,fec).
ST± _3_ дх Т~ 2 ik'
Таким образом, 1пГ(х,£) = J (l + R(x’,k)e 2te')c&
Г(к) = cxpf}
2,к' г-Г (1 4.10)
Если коэффициент отражения представить в виде R-e"f‘, то для <р уравнение (1.4.9) примет вид
аф 2д 2( ф
л’*'со,и-*7- <1А11)
В случае действительного потенциала и полного отражения, Щ = 1, фаза ф будет также действительной, таким образом, уравнение с комплексными переменными (1.4.9) перейдёт в уравнение с действительными переменными (1.4.11).