Многомерный аналитический сигнал и исследование фазы световой волны

• Автор: Тартаковский, Валерий Абрамович
• Шифр специальности: 01.04.05
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 1999
• Место защиты: Томск
• Количество страниц: 254 с. : ил.

Введение
ВВЕДЕНИЕ
Для исследования окружающей среды оптическими методами необходимы высокоточные элементы и системы. Значение качества оптики возрастает при работе аппаратуры в космосе, где ограничивающим разрешение фактором может быть только дифракционный предел. Среднеквадратичное отклонение поверхности традиционных оптических элементов от номинальной должно быть меньше чем Д/50 для обеспечения углового разрешения астрономического телескопа 0,1”. Резонаторы, интерферометры, спектрометры требуют еще более высокой точности изготовления оптических поверхностей, выше сотой доли длины волны света.
Наиболее точным методом измерения формы поверхностей является интерферометрия. Классика оптического интерференционного контроля отражена в работах Э.А. Витриченко, М.А. Гана, М.И. Гришина, Г.В. Креопаловой и Д.Т. Пуряева, Ю.И. Островского, Б. Ма1асага и их соавторов [35,36,41,42,45,62,80,213].
Важным этапом процесса контроля, от которого существенно зависит точность восстановления формы поверхности, является демодуляция интерферограмм. Но при традиционной демодуляции, когда измеряют координаты экстремальных линий, теряется информация, заключенная в изменениях интенсивности интерференционной картины, что снижает точность контроля. Недостаточное математическое описание интерферограммы как двумерного модулированного колебания не позволяет отчетливо представить требуемые алгоритмы анализа и область их применимости.
В связи с этим, необходимо эффективное метрологическое обеспечение автоматизированных технологий, содержащее предпосылки для увеличения точности демодуляции. Его возможно создать,

Введение
изучая свойства фазы световой волны и развивая необходимый математический аппарат.
Физическая задача состоит в измерении фазы световой волны, отраженной объектом и прошедшей неоднородную среду. История этого вопроса возможно началась в коллективе ИОА СО РАН, где с участием С.С. Хмелевцова, В.В. Покасова, О.Н. Емалеева, В.П. Лукина был разработан фазометр и проведены первые натурные измерения флуктуаций фазы лазерного излучения, распространяющегося в атмосфере [46,68,90].
С развитием адаптивной оптики впервые была поставлена задача измерения многомерной фазы и фазовой модуляции световой волны при изменении в пространстве и во времени формы оптической поверхности. В определеннной мере эту проблему изучали М.А. Воронцов, D.L. Fried, J. Hardy, В.И. Шмальгаузен [4,40,163].
Но этот совершенно новый для оптики процесс требует формального определения многомерной фазы и его исследования в различных ситуациях. Уравнения электромагнитного поля такого определения не содержат. Оно должно быть конструктивным, непротиворечивым и требует дополнительных предположений о свойствах функций, моделирующих волновой процесс.
Теория аналитического сигнала (АС) и дисперсионных соотношений (ДС), которая дает возможность ввести амплитуду и фазу для колебательного процесса, идейно восходит к девятнадцатой проблеме Д. Гильберта [89], в формулировке которой предполагается аналитичность решений уравнений математической физики. Эта проблема, является ли аналитичность априорным свойством природы, остается открытой до сих пор. Тема аналитического сигнала и дисперсионнных соотношенний в настоящей диссертации связана с работами Д. Габора,
С.Н. Бернштейна, М.В. Келдыша, Л.И. Мандельштама, С.М. Рытова,

Введение
Б.Я. Левина, Л.М. Сороко, П.А. Бакута, Г.Б. Велкера, М.А. Fiddy, Д.Е.Вакмана, В.К. Аблекова, Я.И. Хургина, В.П. Яковлева, [1,14,29,52, 67,72,95,100, 161,190].
Теория АС и ДС развивалась в одномерном варианте. В физической оптике - интерферометрии, теории дифракции и распространения волн, адаптивном формировании изображений - эти методы используется недостаточно, хотя и существует постоянный интерес к фазовым проблемам. Пространственные координаты и пространственные частоты не являются аргументами операторов, входящих в АС и ДС.
Кроме того, возникают значительные трудности при практическом применении АС и ДС для обеспечения экспериментов по исследованию фазы, в оптической метрологии из-за недостаточного развития численной реализации необходимых операторов и специфических оптимальных алгоритмов анализа сигналов в присутствии шума. С другой стороны, новые эффективные алгоритмы не являются общедоступными.
Существуют также проблемы описания волновых полей в терминах амплитуды и фазы в условиях сильных флуктуаций, когда появляются действительные нули, фазовые вихри и волна переходит в новое качественное состояние. Фаза при этом уже не может быть непрерывной функцией. При исследовании в этой области приняты во внимание работы, которые опубликовали Т.И. Арсеньян,
Е.Г. Абрамочкин, Н.Б. Баранова, Б.Я. Зельдович, Ю.А. Кравцов,
D.L. Fried, М.А. Fiddy, I. Freund и их соавторы [8,17,60,169,190,195,198].
Таким образом, математическая теория, физическая задача и требования технологии являются источниками новых интересных проблем и обуславливают актуальность данной диссертационной работы.

Глава
1.6. Датчики волнового фронта и многомерный аналитический сигнал
Рассмотрим расширение конструкции датчиков, позволяющее использовать свойство единственности пространственно-временного сечения фазы многомерного аналитического сигнала.
Метод Гартмана применяется для контроля оптики телескопа, он основан на измерении положения фокальных пятен и был известен еще Декарту и Ломоносову. Его классический вариант наиболее подробно описан в работах [4,50,60], где приводится достаточно полная библиография по этой теме. Дальнейшим развитием является так называемый датчик Шэка-Гартмана (Shack-Hartmann Test) [245]. Вместо диафрагмы с отверстиями по классическому варианту в нем применяются небольшие линзы или призмы в каждой субапертуре. Это позволяет сделать более компактной оптическую схему, изменять размер фокальных пятен и диапазон их перемещения.
Датчик Гартмана использует взаимосвязь координаты центра тяжести фокального пятна от субапертуры с производной фазы волны в этой субапертуре. Рассмотрим первый момент тх квадрата модуля преобразования Фурье S(a) . Применяя теорему моментов, формулу Парсеваля [99, стр.55,69] к функции W(x,y) = а(х,у) получим,
временно опуская координату у

= [aS(a)?‘da = — [w(x)W*(x - rj)dx
J 1 2л ay J

uu uu
(1.27)
Мнимая часть этого выражения нулевая, так как под интегралом нечетная функция.
Таким образом, без ограничения общности, получим выражение