Фрактальная динамика активных систем

• Автор: Иудин, Дмитрий Игоревич
• Шифр специальности: 01.04.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Нижний Новгород
• Количество страниц: 309 с. : ил.

Важным объектом радиофизических исследований в
области нелинейной динамики являются процессы в сильно неравновесных открытых системах. Потоки энергии и вещества, проходящие через эти системы, обеспечивают возникновение в них эффектов самоорганизации - образования макроскопических диссипативных структур [16, 19, 21, 23]. В последнее время в области интересов радиофизики оказывается все большее число нелинейных распределенных сред, структурообразованис в которых демонстрирует в широком диапазоне параметров и масштабов пространственно-временной скейлинг — один из фундаментальных видов симметрий физического мира, играющих формообразующую роль во Вселенной [17, 26, 28, 30, 31]. Пространственно-временной скейлинг характеризуется сильными, спадающими по степенному закону, корреляциями, которые типичны для критических явлений. Критический режим в процессах самоорганизации оказывается самосогласованным и самонастраивающимся, причем динамика критических флуктуаций непосредственно связана с появлением фракталов в конфигурационном пространстве нелинейных распределенных систем при кинетических переходах. Исследования явлений такого рода были объединены недавно общим направлением названным самоорганизованной критичностью (self-organized criticality) [9] и позиционирующим скейлинговый аспект самоорганизации как ярчайшую интригу современной физической парадигмы, вызывающую колоссальный интерес
ВВЕДЕНИЕ ;$
[9, 32, 257].
Фрактальная динамика активных систем как неотъемлемое проявление самоорганизованной критичности обнаруживается в природе повсеместно. Рост деревьев и дренажные системы речных бассейнов, растительный покров и лесные пожары, структура облачности и грозовые электрические разряды, просачивание жидкости сквозь грунты и сейсмичность, эволюция популяций и многое другое, — все это примеры фрактального поведения. Однако, несмотря на широкое разнообразие физических контекстов, в которых разворачивается фрактальная динамика конкретных систем, существуют общие фундаментальные закономерности самоподобной динамики, предопределяющие независимость макроскопического поведения от мелкомасштабных нюансов взаимодействия локальных элементов. Поиск этих закономерностей наряду с построением базовых моделей фрактальной динамики представляется чрезвычайно актуальной задачей.
Развитие базовых представлений о фрактальной динамике в короткий срок шагнуло от решеточных моделей песочной кучи, ставшей своеобразной визитной карточкой самоорганизованной критичности, до синтеза фрак-тальности и топологии в описании перколирующих систем как геометрического образа самосогласованной критической динамики [25]. Последний случай, когда в качестве исходных посылок используются идеи теории перколя-шш, представляется особенно актуальным. Дело в том, во-первых, что подобно диссипативным структурам, перколяционные структуры также оказываются результатом фазовых превращений [6, 7, 8, 13, 36, 129, 133, 135]. Во-вторых, геометрические параметры перколяционных кластеров вблизи порога слабо зависят от деталей мелкомасштабного устройства, что делает перколяцию чрезвычайно привлекательной в прикладном аспекте. И, наконец, в-третьих, наличие контрастных — по отношению к фону -— физических свойств элементов перколяционных структур (например, высокой — на фоне низкой —- проводимости или проницаемости элементов) делает их весьма чувствительными к воздействию внешних полей. Во внешнем поле экспоненциально редкое событие образования крупного кластера способно вызвать катастрофу на масштабах, сопоставимых с размерами системы, причем катастрофическое событие не может быть обнаружено или предсказано в приближении среднего поля.
Последнее обстоятельство особенно ярко проявляется в крупномасштабных природных системах, таких как грозовое облако и сейсмически активные участки литосферы. Здесь возникает новое интересное направление исследований связанное с фрактальной динамикой перколирующих систем в потенциальных полях. Описание таких сред не укладывается в рамки традиционных подходов и, хотя, использование средств фрактальной геометрии уже имеет здесь свою историю [58, 69, 100, 101], многие актуальные проблемы грозовой и сейсмической активности остаются открытыми. Так, до сих пор не нашли своего решения принципиальные вопросы формирования электрической структуры грозовых облаков, инициации молниевого разряда, его распространения и сбора объемного внутриоблачного заряда в ли-дерный канал молнии, актуальные вопросы электромагнитного излучения грозы. В сейсмнке своего решения ждут вопросы энергетики сейсмических событий, проблемы вертикальной миграции гипоцентров и проблема генерации краткосрочных электромагнитных предвестников землетрясений.
Указанные обстоятельства позволяют считать тему диссертации актуальной и важной для современной радиофизики в той ее части, которая связана с исследованием нелинейной динамики и самоорганизации активных систем различной природы.
Цель диссертационной работы. Выявление общих закономерностей нелиГлава 1. ЭФФЕКТЫ ДИНАМИЧЕСКОЙ ГІЕРКОЛЯЦИИ
онной теории, мы остановимся на пространственно-неоднородном обобщении классической постановки проблемы.
1.1.3 Градиентная перколяция
Предположим, что концентрация р занятых узлов на квадратной решетке линейно меняется от нуля до единицы вдоль вертикального направления (см. рис. 1.6). В этом случае говорят о протекании в градиенте концентрации или о градиентной перколяции [135]. Используя традиционную терминологию, будем называть область решетки занятую максимальным кластером - сушей (белые пиксели на рис. 1.6), а область связанных пустых узлов не окруженных сушей - морем. Кластеры изолированные от суши называются островами (серые пиксели на рис. 1.6), группы связанных пустых узлов окруженных сушей - озерами. Береговая линия - граница между морем и сушей - имеет фрактальную структуру и называется диффузионным фронтом. Среднее положение фронта г = гс соответствует порогу протекания: р(яс) = рс.
Диффузионный фронт характеризуется средней шириной /г/ и полным числом М; принадлежащих ему узлов. Обе величины легко могут быть связаны со значением градиента концентрации вблизи р = рс.
Мы видим на рис. 1.6, что озера и острова чрезвычайно малы вдали от фронта, с другой стороны, вблизи фронта их размеры соизмеримы с шириной /г/. Острова соотвстсвуют конечным кластерам перколяцнонной системы, а озера - ограниченным дырам. По мере приближения к фронту и те и другие растут как корреляционная длина в соответствии с (1.4). Однако, благодаря конечному градиенту ур, размеры озер н островов остаются конечными даже при р = рс. Их максимальный размер не превышает ширины фронта /г/, которая является единственным характерным масштабом