Реномгрупповой анализ новых типов критического поведения при переходе к хаосу в нелинейных системах, описываемых двумерными отображениями

• Автор: Сатаев, Игорь Рустамович
• Шифр специальности: 01.04.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1998
• Место защиты: Саратов
• Количество страниц: 193 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение
ГЛАВА 1. ПЕРЕХОД К ХАОСУ ЧЕРЕЗ УДВОЕНИЯ ПЕРИОДА:
РЕНОРМГРУППОВОЙ АНАЛИЗ (обзор)
1.1. Уравнение РГ Фейгенбаума-Цвитановича
1.2. Фейгенбаумовский тип критичности. :
1.3. Общие замечания о коразмерности и типичности
1.4. Критические ситуации коразмерности три
для одномерных отображений
1.5. Критическое поведение
в бимодальных отображениях
1.6. От одномерных отображений к двумерным
1.7. Двумерное обобщение уравнения РГ
1.8. Удвоения в консервативных отображениях
1.9. Критическое поведение в системе двух логистических отображений с однонаправленной связью
1.10. Задача поиска и анализа новых типов
критического поведения
1.11. Выводы к первой главе
ГЛАВА 2. НОВЫЙ ТИП КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ, АССОЦИИРУЮЩИЙСЯ
С НЕПОДВИЖНОЙ ТОЧКОЙ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ РГ (тип ЕО)
2.1. Модификация модельного отображения
с включением обратного воздействия
2.2. Ренормгрупповой анализ
2.3. Особенности двумерных отображений
и их связь с классами универсальности
2.4. Модельное отображение и его динамика
2.5. Решение линеаризованного РГ уравнения
2.6. Динамика в критической точке и фрактальная
структура критического аттрактора
2.7. Топография пространства параметров и ее скейлинговые свойства
2.8. К вопросу об экспериментальной реализации
2.9. Выводы ко второй главе
ГЛАВА 3. УНИВЕРСАЛЬНОЕ ПОВЕДЕНИЕ ТИПА С
3.1. "Спуск по коразмерности": модификация отображения
с включением линейного члена

3.2. Ренормгрупповой анализ
3.3. Модельное отображение
3.4. Динамика модельного отображения
3.5. Бесконечное самоподобное множество аттракторов
в критической точке: критический квазиаттрактор
3.6. Структура пространства параметров вблизи критической точки типа С
3.7. Выводы к третьей главе
ГЛАВА 4. НЕФЕЙГЕНБАУМОВСКИЕ ТИПЫ КРИТИЧЕСКОГО ПОВЕДЕНИЯ В
СИСТЕМЕ ЧУА: ДВЙ1АРАМЕТРИЧЕСКИИ АНАЛИЗ )
ПЕРЕХОДА К ХАОСУ В ПРИБЛИЖЕННОМ
ОДНОМЕРНОМ ОТОБРАЖЕНИИ ЧУА
4.1. Система Чуа: динамика в терминах дифференциальных уравнений
4.2. Отображение Пуанкаре для системы Чуа
4.3. Система Чуа: динамика в терминах приближенного одномерного отображения.
Фейгенбаумовская критичность в системе Чуа
4.4. Бинарное дерево циклов двойной сверхустойчивости и множество критических точек коразмерности два
в одномерном отображении Чуа
4.5. Свойства динамики в критических точках коразмерности два
4.6. Самоподобная структура пространства параметров в окрестности критических точек коразмерности два
4.7. Выводы к четвертой главе
ГЛАВА 5. НЕФЕЙГЕНБАУМОВСКИЕ ТИШ КРИТИЧНОСТИ
В СИСТЕМЕ ЧУА
5.1. Система Чуа: от приближенного одномерного отображения к точному двумерному
5.2. Система Чуа: трикритичность
в двумерном отображении
5.3. Критическое поведение в системе
двух контуров Чуа с односторонней связью
5.4. Выводы к пятой главе
Основные результаты и выводы
Литература

I. Введение
Актуальность работы.
На первых этапах развития ренормгруппового (РГ) метода в нелинейной динамике исследовались неподвижные точки РГ преобразования, относящиеся к одномерным отображениям. За короткое время после открытия фейгенбаумовского типа критичности
II,2] были выявлены и детально изучены сценарии перехода к хаосу через перемежаемость, разрушение квазипериодических движений [3-8]. Если исследуемая нелинейная система содержит более одного управляющего параметра, то у порога возникновения хаоса могут появиться новые ситуации со своими свойствами универсальности. Для сценариев, связанных с удвоениями периода, это трикритические точки 19], другие критические точки бимодальных одномерных отображений, отвечающие циклам различного периода РГ уравнения Фейгенбаума [10-14], а также двухпараметрическое критическое поведение диссипативных систем, демоне трирущих удвоения периода, вблизи нулевого значения параметра диссипации - гамильтоновский тип критичности 115-221. Указанные критические ситуации характеризуются векторным скейлингом 1231: топография пространства параметров воспроизводит себя при пересчете масштабов в некоторое число раз вдоль подходящих осей координат.
Если говорить о динамических системах, описываемых дифференциальными уравнениями, то при их анализе методом сечений Пуанкаре в общем случае могут получаться только обратите отображения - двумерные, если фазовое пространство трехмерно. В то же время исследование одномерных кеображишх отображений оказалось весьма плодотворным для понимания общих закономерностей перехода к хаосу, в частности, через удвоения

1.6. От одномерных отображений к двумерным.
Если нелинейная система задается дифференциальными уравнениями с размерностью фазового пространства большей или равной трем, то одномерные отображения могут служить лишь для приближенного описания динамики в пределе сильной диссипации. В то же время динамику систем с размерностью фазового пространства М=3 можно описывать с помощью двумерных обратимых отображений точно, без каких-либо приближений. Для этого используется построение сечения Пуанкаре. Таким образом, переход от одномерных к двумерным отображениям является принципиальным шагом в развитии теории. В какой мере результаты РГ анализа одномерных отображений применимы в двумерном случае?
Известно, что в однопараметрических семействах двумерных отображений может наблюдаться фейгенбаумовский тип критического поведения с переходом к хаосу через каскад удвоений периода
случае общего положения ему присущи те же самые свойства
количественной универсальности и скейлинга, что и в одномерных унимодальных отображениях с квадратичным экстремумом (масштабные константы 6=4.6692... и а=-2.5029... и т.п.). Математическая основа под этот факт подведена в известной работе
Экманна-Колле-Коха [24].
Выживают ли при переходе к двумерным отображениям рассмотренные выше нефейгенбаумовские типы критичности, присущие
одномерным отображениям?
Имея в виду аналогию с теорией Фейгенбаума и результаты РГ анализа, можно ожидать, что трикритическое поведение универсально и широко распространено в нелинейных системах, демонстрирующих переход к хаосу. Однако до последнего времени